Двойные интегралы

В Maple для вычисления двойных интегралов, в отличие от обычных, специальной процедуры не существует. Однако в пакете student есть процедура Doubleint(), которая имеет только неактивную форму и используется, как правило, для непосредственной записи двойного интеграла.

При вызове данной процедуры в качестве параметров указываются подынтегральная функция, затем (через запятую) две переменные интегрирования и, наконец, область интегрирования (в символьном виде). Если при указании переменных интегрирования сразу определить и границы их изменения, то, во-первых, область интегрирования уже не указывается и, во-вторых, значение такого интеграла можно узнать, воспользовавшись процедурой value)) (как и для обычных процедур в неактивной форме).

Интегрирование

Глава 4. Интегрирование Вычисление неопределенных интегралов Вычисление определенных интегралов Интегральные преобразования Двойные интегралы Тройные интегралы Криволинейные интегралы Поверхностные интегралы Заключительные замечания Контрольные вопросы

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования и, в первую очередь, преобразование Фурье находят самое широкое практическое применение.

Интегральное преобразование Фурье в Maple выполняется с помощью процедур fourier(), fouriercos() и fouriersin() — соответственно, для комплексного преобразования Фурье, косинус-преобразования и синус-преобразования Фурье. В качестве параметров процедур указываются преобразуемое выражение, переменная, по которой выполняется преобразование, а также переменная для функции-образа. Процедуры доступны при подключении пакета inttrans.

Для выполнения обратного преобразования. Фурье используется процедура invfourier(). Способы вызова перечисленных процедур продемонстрированы в примерах.

Задача 4.7

Найти Фурье-образ функции

Сразу подключаем нужный пакет.

Кроме того, для ясности предположим, что параметр а положителен.

Преобразуемая функция, согласно условию задачи, равна следующему.

Фурье-образ этой функции также определяем как функцию.

Находим функцию-образ.

Чтобы упростить полученное выражение (оно содержит функцию Хеви-
сайда — Heavisidef), которая равна 1 при положительном аргументе и 0 в
противном случае), сообщим вычислительному ядру Maple, что аргумеш
функции-образа является положительным.

Очень часто функции при преобразовании Фурье приходится продолжать четным или нечетным образом.

Задача 4.8

функцию f(x) = ехр(-х) (x > 0) представить интегралом Фурье, продолжая ее а) четным и б) нечетным образом.

После подключения пакета описываем базовую преобразовываемую функцию.

При четном продолжении функции ее Фурье-образ будет совпадать (с точностью до множителя с косинус-преобразованием.

Соответственно, при нечетном продолжении используется синус-преобразование.

К полученным выражениям можно применить процедуру обратного преобразования invfourier(). Синтаксис ее вызова такой же, как и у процедуры прямого преобразования: сначала указывается преобразуемое выражение, затем переменная, относительно которой выполняется преобразование, и, наконец, переменная для функции.

Контрольные вопросы

1. Каков результат выполнения приведенных ниже команд? a)int(l,x); 6)Int(cos(x),x); в) int(x,x=O..l); г)Int(sin(x),x=O..Pi); 2. Переменная у описана следующим образом: y:=t->t*x. Чему равен результат выполнения следующих команд. a)int(y(t),x=O..l); 6)int(y(x),t); B)int(y(t/x),x); г)int(y(l),t); 3. Какие из приведенных ниже команд корректны? Каков результат их выполнения? a)int(x$2); б) int(s);, если предварительно выполнена команда s:=x,x; в) int(x$3); г) int (lhs (s), s);, если предварительно выполнена команда s: =х=1.. 2; 4. Для чего используется команда Doubleint()? а) для вычисления двойных интегралов; б) для вычисления двух интегралов подряд; в) только для формальной записи двойного интеграла; г) в основном, для формальной записи двойного интеграла, но в некоторых случаях может использоваться и для его вычисления. 5. Для чего используется команда Tripleint()? а) для вычисления тройных интегралов; б) для вычисления трех интегралов подряд; в) только для формальной записи тройного интеграла; г) в основном, для формальной записи тройного интеграла, но в некоторых Случаях может использоваться и для его вычисления. 6. В каких случаях используют команду Lineint()? а) при вычислении интегралов от линейных по аргументу функций; б) при вычислении криволинейных интегралов; в) при выполнении преобразования Фурье; г) при выполнении преобразования Лапласа.

Криволинейные интегралы

Для вычисления криволинейных интегралов (перюго рода) в пакете student предназначена процедура Lineintf) (она имеет только неактивную форму).Первым параметром этой процедуры указывается интегрируемая функция. Затем можно указать задаваемые в параметрическом виде переменные, саму переменную-параметр и диапазон ее изменения.

На заметку

Несобственным называется интефал, содержащий особенность (например, неограниченные пределы интефирования или сингулярность подынтефальной функции на одной или обеих фаницах интеграла).

Задача 4.6

Найти интеграл

В данном случае верхней фаницей интервала интефирования следует указать бесконечность.

Хотя такой результат может вначале показаться несколько странным, ничего удивительного в этом нет. Дело в том, что при х<1 имеет место 1n(х)<0, половина фафика (точнее, офаниченной им площади) находится под осью абсцисс, половина — над осью. Поэтому интефал и равен нулю. Ниже приведен схематический фафик подынтефальной функции.

На заметку

Аргументом процедуры plot() является команда op(lhs(%)). Команда lhs(%) возвращает в качестве значения левую часть последнего равенства, т.е. символьное выражение интеграла. Команда op(lhs(%)) возвращает операнды этого интеграла — подынтегральное выражение, а также (через запятую) параметр и диапазон интегрирования. Вот эта последовательность и указывается в качестве первого параметра процедуры plot().

На заметку

Умножение выражения на комплексную единицу со знаком минус (-1) не эквивалентно вычислению комплексной части выражения. Это имеет место только в тех случаях, когда выражение чисто комплексное. Основанием для использования выше команд выделения действительной и мнимой частей явилось то, что косинус-образ является четной функцией, а синус-образ — нечетной. В силу этого, после обратного преобразования, в первом случае получаем действительное выражение, во втором — мнимое.

Кроме преобразования Фурье, достаточно часто используется преобразование Лапласа. Свойства образов функций в обеих случаях во многом схожи. Поэтому основанием для использования преобразования Лапласа, как правило, является невозможность выполнить преобразование Фурье.

На заметку

Дело в том, что преобразованию Фурье можно подвергнуть далеко не каждую функцию. Например, проинтегрировать f(x ) = х при преобразовании Фурье не удастся. В отличие от преобразования Фурье, при преобразовании Лапласа офаничения на степень убывания преобразуемой функции в бесконечности не такие жесткие.

Преобразование Лапласа, наряду с преобразованием Фурье, является мощным инструментом исследования и, в частности, часто используется при решении дифференциальных уравнений.

В пакете Maple inttrans имеется процедура lарlасе() для выполнения преобразования Лапласа, а также процедура invlaplace() для выполнения обратного преобразования. Синтаксис их вызова абсолютно такой же, как и у соответствующих процедур преобразования Фурье.

На заметку

Все же в некоторых случаях процедуру Doubleintf) можно использовать для вычисления двойных интегралов, о чем и пойдет речь ниже.

В следующем примере процедура Doubleint() используется для вычисления повторного интеграла.

На заметку

Кстати, замену переменных (т е. выполнение перехода от декартовых координат к полярным в выражении для области) можно осуществить с помощью стандартной процедуры changecoords().

Таким образом, исходный двойной интеграл в полярной системе координат записывается через повторный следующим образом.

На заметку

Трехмерные поверхности строятся с помощью процедуры plot 3d (). Дпя вызова этой процедуры никакой специальный пакет подключать не нужно. Параметры процедуры — уравнение поверхности и диапазон изменения переменных. Остальные параметры могут быть настроены с помощью кнопок контекстной панели, которая доступна при выделении рисунка в рабочем листе. Описание кнопок контекстной панели трехмерной графики можно найти в главе 1.

На заметку

Если пользователь в рабочем листе увидит рисунок, несколько отличающийся от приведенного выше, следует воспользоваться контекстной панелью трехмерной графики Что касается процедуры implicitplot3d(), то она используется для отображения заданных в неявном виде поверхностей Ее параметрами указывают уравнение, задающее поверхность, и диапазон изменения переменных. Опция grid задает число базовых точек, по которым строится поверхность (значение по умолчанию [10,10,10])

Определяем границы интегрирования по каждой из переменных и записываем соответствующий тройной интеграл через повторный.

Нужно отметить, что особой трудности в вычислении записанного выше повторного интеграла нет. Однако вычислять его без замены переменных необходимо поэтапно. Проблема в том, что после интегрирования по очередной переменной придется производить упрощение и преобразование полученного выражения; иначе в силу громоздкости последнего Maple вычислить его не сможет.

В данном случае интеграл будет вычисляться посредством замены переменных, и с этой целью вызывается процедура changevar(). Синтаксис ее вызова такой же, как и при замене переменных в двойном интеграле, — указываются равенства, в соответствии с которыми вводятся новые переменные, выражение, в котором выполняется замена, и переменные, через которые следует записать интеграл.

На заметку

Массив является множеством индексированных элементов. Во многом он напоминает список. Ссылка на элемент массива выполняется путем указания в квадратных скобках после названия массива индекса соответствующего элемента.

Теперь необходимо определиться с областью интегрирования в плоскости XY. Как нетрудно убедиться, для обеих поверхностей конуса (т.е. его боковой поверхности и основания) такой проекцией является круг радиуса 1; по этому кругу и следует интегрировать (в плоскости XY!). Интегрирование сначаш выполняем по переменной х (пределы интегрирования от

На заметку

Если просто вызвать процедуру value(In[2]), то значение интеграла будет вычислено, но не будет присвоено элементу 1n[2] в качестве значения. Этот элемент так и останется интегралом в символьном виде!

Выражение можно упростить, вынеся Pi за скобки.

Поверхностные интегралы

Поверхностные интегралы, как и криволинейные, делятся на интегралы первого и второго рода. В данном случае будут рассматриваться поверхностные интегралы первого рода, для которых поверхность, по которой выполняется интегрирование, задана в виде функции z(x,y).

Специальных процедур для вычисления поверхностных интегралов в Maple нет. Однако существующих утилит вполне достаточно для решения очень многих задач прикладного характера.

после подключения пакета plots недоступна

Стандартная процедура changecoords () после подключения пакета plots недоступна -будет вызвана одноименная процедура из указанного пакета.
В результате уравнение конуса будет записано следующим образом.

Из сказанного выше следует, что

Из сказанного выше следует, что если проекция поверхности интегрирования такова, что сразу указать диапазон изменения по каждой переменной не удается, — процедура для вычисления интеграла по такой поверхности неприменима. Другими словами, прежде чем использовать процедуру, следует определиться с областью интегрирования.

Чтобы упростить эти выражения, сделаем

Чтобы упростить эти выражения, сделаем предположение о положительности переменной х.

какова была исходная функция, можно

Выяснить, какова была исходная функция, можно следующим образом.

вычисляет действительную часть аргумента,

Здесь команда Re () вычисляет действительную часть аргумента, alm() — комплексную.

Функция Хевисайда, как уже отмечалось,

Функция Хевисайда, как уже отмечалось, отлична от нуля и равна 1 только при положительном значении аргумента. Определенная выше функция является достаточно неудобной для преобразования Фурье, однако после преобразования Лапласа образ функции будет иметь вполне приемлемый вид.

в виду, что основные трудности

Следует иметь в виду, что основные трудности при использовании преобразования Лапласа возникают, в основном, при попытке восстановить функцию по ее образу. В этих случаях Maple полезен, как никогда.

Приведенный выше пример особых комментариев

Приведенный выше пример особых комментариев не требует. Для определения функции по ее образу была использована процедура invlaplace(), синтаксис вызова которой практически такой же, как и у процедуры прямого преобразования.

Для вычисления такого интеграла воспользуемся

Для вычисления такого интеграла воспользуемся процедурой value(), указав в качестве ее параметра рассматриваемый интефал (ссылка на этот интефал выполнена посредством переменной среды %):

Несмотря на кажущуюся простоту, использовать

Несмотря на кажущуюся простоту, использовать процедуру Doubleint() непосредственно для вычислений следует крайне осторожно. Например, поменяем в вызове этой процедуры порядок переменных интегрирования, как показано ниже.

у Maple значение интеграла, получим

Если теперь запросить у Maple значение интеграла, получим некорректный результат.

В данном случае вычислительным ядром

В данном случае вычислительным ядром Maple сначала было выполнено интегрирование по х в указанном диапазоне, а затем по у — в полном соответствии с порядком следования переменных интегрирования при вызове процедуры. Такие "тонкости" часто становятся причиной недоразумений, и их нужно отслеживать.
Описанный выше способ вычисления повторного интеграла является скорее исключением, чем правилом. Такой подход применим только для вычисления повторных интегралов. В случае двойного интеграла его сначала необходимо свести к повторному. Как это делается, можно увидеть из следующего примера.

с явным указанием числа базовых

Графики построены в безразмерных переменных (нормированных на р) с явным указанием числа базовых точек по каждой из осей (grid=[50,50]), по которым они отображаются.
Далее декларируем положительность параметра р.

Чтобы воспользоваться для записи двойного

Чтобы воспользоваться для записи двойного интеграла процедурой Doubleint(), подключаем пакет student.

Теперь осталось этот повторный интеграл

Теперь осталось этот повторный интеграл вычислить. Примем во внимание следующее. Последнее равенство присвоено в качестве значения переменной *. Вычисляемый двойной интеграл — это левая часть указанного равенства, т.е. lhs(%). Повторный интеграл (процедуры в неактивной форме) — правая часть равенства, т.е. rhs(l). Чтобы этот повторный интеграл вычислить, используем команду value(rhs(%)). Таким образом, вводим следующую команду.

Левая часть последнего равенства, разумеется,

Левая часть последнего равенства, разумеется, может быть пропущена — по усмотрению пользователя.
Часто при вычислении интегралов приходится переходить к новым координатам. В Maple эта операция (при вычислении интегралов) полностью автоматизирована.

к полярным координатам используются переменные

При переходе к полярным координатам используются переменные гиф. Обе переменные, по определению, неотрицательны. Это обстоятельство относительно переменной г декларируем сразу (тогда в подынтегральном выражении не будет модулей).

Первым параметром этой процедуры указывается

Замена переменных в подынтегральных выражениях осуществляется с помощью процедуры changevar(). Первым параметром этой процедуры указывается список равенств, определяющих переход от одних переменных к другим, вторым параметром — двойной интеграл, в котором выполняется замена, и третьим — список новых переменных, к которым осуществляется переход.

в новых переменных уравнения, определяющие

Теперь следует записать в новых переменных уравнения, определяющие область интегрирования. Переменной Omega присвоим в качестве значения определяющее область интегрирования неравенство (в декартовых координатах).

в области вывода как

На заметку
Переменная Omega выглядит в области вывода как омега.
Переходим к полярным координатам.

Неравенство для области интегрирования выглядит

Неравенство для области интегрирования выглядит теперь следующим образом.

Решение задачи

в достаточно простых случаях вычисление

Видим, что и в достаточно простых случаях вычисление двойных интегралов требует от пользователя определенных усилий. Конечно же, Maple в полной мере избавить от рутинной работы не может, но все же его использование существенно ускоряет и упрощает процесс поиска решения.

Область интегрирования получается, если эту

Область интегрирования получается, если эту поверхность рассечь тремя плоскостями:
а)плоскостью, проходящей через ось z и прямую у=х в плоскости XY; б) плоскостью, параллельной осям z и у и пересекающей плоскость XY по прямой х=1; в) плоскостью XY. Отсюда естественным образом определяем границы интегрирования по каждой из переменных и порядок интегрирования.

Однако, как и в случае двойных интегралов, зачастую сразу свести тройной интеграл к повторному не удается — приходится выполнять замену переменных.

в новых переменных уравнения, определяющие

Теперь осталось записать в новых переменных уравнения, определяющие границу области интегрирования. Для этого декартовые координаты выражаем через цилиндрические.

Решение задачи

После упрощения получаем достаточно простое

После упрощения получаем достаточно простое равенство.

Теперь можно вычислить

Теперь можно вычислить интеграл.

к повторному интегралу от тройного

Следует отметить, что в цилиндрических координатах переход к повторному интегралу от тройного осуществлялся безотносительно к повторному интегралу, записанному в исходных декартовых координатах. Этот интеграл рассматривался исключительно как иллюстрация методов перехода от многократных интегралов к повторным.

Чтобы наглядно представить саму область

Чтобы наглядно представить саму область интегрирования, поступим следующим образом. Сначала построим две параболические поверхности, ограничивающие рассматриваемую область сверху и снизу. Поверхности показаны ниже.

На следующем рисунке показаны поверхности,

На следующем рисунке показаны поверхности, ограничивающие область интегрирования сбоку.

Вооружившись такими наглядными иллюстрациями, определим

Вооружившись такими наглядными иллюстрациями, определим границы интегрирования по каждой из переменных и запишем исходный интеграл через повторный.

Теперь этот интеграл можно вычислить,

Теперь этот интеграл можно вычислить, в результате чего получим значение объема рассматриваемой области.

Выше для получения значения выражения,

Выше для получения значения выражения, содержащего неактивную процедуру, была вызвана процедура value (). 

Поскольку до введения интеграла параметрические

Поскольку до введения интеграла параметрические зависимости для х и у заданы не были, интеграл отображен в обобщенном символьном виде.
На следующем этапе с помощью параметрических зависимостей, согласно уравнению циклоиды, задаем контур, по которому следует выполнить интегрирование.

когда параметрические зависимости заданы, можно

Теперь, когда параметрические зависимости заданы, можно вычислить интеграл.

Последнее выражение следует упростить. При

Последнее выражение следует упростить. При упрощении в процедуре simplify!) после параметра — переменной среды %, ссылающейся на значение интеграла — указана опция symbolic. В этом случае упрощение будет производиться в символьном виде. В частности, при вычислении квадратного корня из переменной в квадрате (в данном случае это переменная а) результатом будет сама эта переменная (а не ее модуль).

Криволинейные интегралы находят вполне конкретное

Криволинейные интегралы находят вполне конкретное практическое применение. В частности, с помощью криволинейных интегралов (второго рода) можно вычислять площади фигур, ограниченных кривыми. Наиболее удобен такой подход, когда ограничивающие область кривые заданы в параметрическом виде.

Чтобы вычислить этот интеграл, необходимо

Чтобы вычислить этот интеграл, необходимо параметризировать кривую, заданную следующим уравнением.

что вдоль кривой координаты х,

Предположим, что вдоль кривой координаты х, у и переменная-параметр t связаны следующим соотношением.

Подставляем это соотношение вместо

Подставляем это соотношение вместо у в уравнение кривой.

и t) решаем относительно

Полученное уравнение (в переменных х и t) решаем относительно х.

Среди найденных таким образом решений

Среди найденных таким образом решений одно является нетривиальным. Это и есть искомая зависимость переменной х от параметра t.

Теперь зависимость переменной

Теперь зависимость переменной у от параметра t получить несложно.

Ниже представлена область, площадь которой

Ниже представлена область, площадь которой вычисляется.

Наконец, вычисляем

Наконец, вычисляем площадь.

Полученное выражение достаточно громоздко. Кроме

Полученное выражение достаточно громоздко. Кроме того, оно является комплексным. Последнее обстоятельство объясняется теми алгоритмами, которые используются вычислительным ядром Maple при вычислении интегралов. Упрощаем это выражение.

что после упрощения результат выглядит

Видим, что после упрощения результат выглядит вполне компактно.

в качестве значений левые части

В процедуре локальным переменным t и и присваиваются в качестве значений левые части аргументов xRange и yRange. Эти параметры являются равенствами (например, х=а. .Ь). Следовательно, левая часть такого равенства — это переменная, а правая часть — диапазон ее изменения.
В процедуре записан двойной интеграл, где подынтегральная функция умножается на соответствующий квадратный корень, содержащий частные производные от функции z, а в качестве диапазонов изменения переменных интефирования указаны аргументы xRange и yRange.
Ниже представлена поверхность, по которой в данной задаче следует вычислить интеграл.

применяя описанную выше процедуру, сможем

Теперь, применяя описанную выше процедуру, сможем вычислить интеграл.

что подобные процедуры наиболее эффективны

Понятно, что подобные процедуры наиболее эффективны в тех случаях, когда нужно решать большое число стереотипных задач. Кроме того, необходимым условием применения данной процедуры для вычисления интеграла является однозначность функции, задающей поверхность интегрирования. Неоднозначные функции принципиальной проблемы не составляют — однако в этом случае процедуру все же следует переопределять.
Полезно все же посмотреть, как процесс вычисления поверхностного интеграла выглядит во всех деталях.

Интеграл разобьем на две части:

Интеграл разобьем на две части: сначала вычислим интеграл по боковой поверхности конуса, а затем — интеграл по плоскости. Задаем уравнение боковой поверхности.

Кроме того, определяем подынтегральную

Кроме того, определяем подынтегральную функцию.

в дальнейшем при вычислении интеграла

Эта функция в дальнейшем при вычислении интеграла будет умножаться на квадратный корень (с частными производными), который определим как функцию R двух переменных.

Можно проверить, чему эта функция

Можно проверить, чему эта функция равна для заданной ранее функции z.

в качестве значения переменной

Это выражение упрощаем и присваиваем в качестве значения переменной А.

Как уже отмечалось, исходный интеграл

Как уже отмечалось, исходный интеграл (его значение запишем в переменную S) представляем в виде двух интегралов (это будут интегралы 1п[1] и 1п[2] — элементы массива In).

Решение задачи

Полученное таким образом выражение интефируем

Полученное таким образом выражение интефируем по у в пределах от -1 до 1

Это значение присваиваем элементу

Это значение присваиваем элементу 1п[1].

Второй интефал будем вычислять через

Второй интефал будем вычислять через двойной. Но прежде заметим, чтс на рассматриваемой поверхности z=l все частные производные равны нулю, и поэтому корень, на который следует умножить подынтефальную функцию, автоматически превращается в 1 (специально вычислять его не будем). Чтобы можно было воспользоваться процедурой вычисления двойного интефала, подключим пакет student.

При таком описании интефала его

При таком описании интефала его можно вычислить с помощью процедуры value(). Затем это вычисленное значение присваиваем элементу 1n[2].

Суммарный интефал равен следующему.

Суммарный интефал равен следующему.

Решение задачи

Кроме того, можно воспользоваться командой

Кроме того, можно воспользоваться командой приведения к общему знаменателю.

При этом за скобки будет

При этом за скобки будет вынесен еще и множитель 1/2.

Тройные интегралы

Принципиальное отличие тройных интегралов от двойных состоит в том, что теперь появляется еще одна (третья) переменная интегрирования. Во всем остальном они схожи. Как и в случае двойных интегралов, основными методами вычисления тройных интегралов является сведение их к повторным и замена переменных в подынтегральных выражениях. Все в том же пакете student для работы с тройными интегралами предусмотрена процедура Tripleint(), первыми четырьмя параметрами которой указываются интегрируемая функция и переменные интегрирования. Если диапазон изменения последних не указан, пятым параметром является область интегрирования (если точнее, то название этой области).

Для процедуры Tripleint() справедливы те же замечания, что и для процедуры Doubleint() — с той лишь поправкой, что переменных интегрирования три. Ниже показано, как эта процедура используется при решении задач.

Вычисление неопределенных интегралов

Неопределенные интегралы в Maple вычисляются с помощью процедуры int(). Первым параметром этой процедуры указывается интегрируемое выражение, вторым — переменная интегрирования. Процедура имеет неактивную форму Int(), которая используется для отображения интеграла в символьном виде. Рассмотрим примеры.

Задача 4.1

Найти интеграл exp(ax)cos(bx)dx .

Этот достаточно простой для Maple интеграл вычисляется следующим образом.

Полученное выражение упрощаем с помощью процедуры combined.

После этого выносим за скобки экспоненту.

В следующем примере показано, как еще можно вызывать процедуру интегрирования.

Задача 4.2

Найти интеграл

Опишем подынтегральное выражение как функцию одного аргумента.

Переменной Seq в качестве значения присвоим последовательность из двух элементов: результата действия оператора f () на переменную х и самой переменной х.

Если теперь указать эту переменную в качестве (единственного!) аргумента процедуры int() (или !nt()), будет вычислен интеграл от функции f по переменной х (в случае процедуры Int() этот интеграл будет отображен в символьном виде).

Упрощать, кстати, можно сразу целое равенство.

Не является проблемой и интегрирование разрывных функций. Главное, чтобы интеграл от них существовал.

Задача 4.3

Найти интеграл от функции

Кусочно-гладкую функцию можно задать с помощью процедуры piecewise(): сначала указывается интервал, а затем — значение функции на этом интервале. Последний интервал не указывается — только значение функции.

Можно проверить, правильно ли задана функция.

Интеграл от функции также определим как функцию.

Проверим, чему равно значение интеграла.

Чтобы представить, как данная функция выглядит, построим график Кроме того, отобразим на графике и исходную функцию.

Из рисунка, в частности, видно, что проинтегрированная функция непрерывна.

Вычисление определенных интегралов

Для вычисления определенных интегралов тоже используется процедура int(). Разница заключается в способе ее вызова: в случае определенного интеграла для переменной интегрирования после знака равенства указывается диапазон ее изменения (конечный или бесконечный). Ниже приведены примеры.

Задача 4.4

Найти интеграл cos(.x)dx.

В данном случае определенный интеграл вычисляется практически так же, как и неопределенный, но, как отмечалось, следует указать диапазон изменения переменной интефирования (причем как в активной, так и неактивной процедуре интегрирования).

В определенном интефале могут содержаться, помимо прочего, и переменные параметры. Эта особенность Maple существенно выделяет его на фоне математических пакетов для инженерных расчетов.

Задача 4.5

Найти интеграл sin"(x)dx.

Определим функцию-интеграл, зависящую от параметра, — другими словами, интеграл с параметром.

Для большей ясности предположим, что парамеф является целым числом.

Без особых проблем ядром Maple вычисляются и несобственные интегралы.

Найти изображение Лапласа для функции

Найти изображение Лапласа для функции f(t) = 3Heaviside(t)+2cos(3t).
С точки зрения командного языка Maple принципиальной разницы в том, какое преобразование выполнять — Фурье или Лапласа, нет.

Найти оригинал для изображения

Найти оригинал для изображения

стала доступной, следует подключить пакет

Вычислить интеграл.
Чтобы процедура Doubleint() стала доступной, следует подключить пакет student.

Вычислить интеграл xyldxdy, если область

Вычислить интеграл xyldxdy, если область ограничена параболой у1 = 2рх и прямой х = р/2 (р>0).
Прежде всего определим область интегрирования. Поскольку кривые, ограничивающие область интегрирования, задаются в неявном виде, нужно воспользоваться процедурой отображения неявно заданных функций implicitplot(). Для этого подключаем пакет plots.

к полярным координатам, вычислить интеграл

Переходя к полярным координатам, вычислить интеграл
Как обычно, подключаем пакет.

При этом главной проблемой является

Вычислить интеграл

При этом главной проблемой является определение области интегрирования. В условии задачи заданы четыре уравнения, определяющие эту область. Три последних — уравнения плоскостей. Ниже на графике показана поверхность, заданная уравнением z=xy.

что сделаем после подключения пакетов

Вычислить интеграл
Первое, что сделаем после подключения пакетов (student — для использования процедур Tripleint() и changevar(), a plots — для вызова процедуры implicitplot3d()), — определимся с областью интегрирования.

Как несложно убедиться, область интегрирования является внутренней частью конуса, отсекаемой плоскостью г-1, параллельной плоскости XY.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у1, z = 2x2+2y2
Чтобы определить объем области, следует вычислить тройной интеграл по ней (подынтегральная функция равна 1).

Вычислить интеграл по контуру С,

Вычислить интеграл по контуру С, где С — арка циклоиды:
Подключаем пакет и строим параметрически заданную кривую, по которой следует выполнять интегрирование.

При построении графика из параметрических зависимостей предварительно была удалена размерность — посредством деления на а. Опция labels используется для выведения вдоль координатных осей нужных надписей.
Далее записываем сам интеграл.

С помощью криволинейного интеграла вычислить

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (Декартов лист).
Формально площадь фигуры, ограниченной кривой, может быть записана следующим образом.

Для большего удобства определим процедуру,

Найти площадь поверхности z =ху , отсекаемой плоскостями х + у = 1, х =0, у = 0, z = 0.
Для большего удобства определим процедуру, посредством которой поверхностный интеграл будет сводиться к повторному (и, разумеется, вычисляться). Данная процедура будет иметь четыре параметра: первый — интегрируемая функция (f); второй — это функция, задающая поверхность, вдоль которой вычисляется интеграл (z); и, наконец, два последних — переменные интефирования с указанием диапазона их изменения.

Вычислить поверхностный интеграл первого рода

Вычислить поверхностный интеграл первого рода от функции f(x,y) - х1 +у2 по границе тела
В первую очередь необходимо определиться с поверхностью, по которой вычисляется интеграл. В принципе, поверхность эта достаточно проста — конус, ограниченный сверху плоскостью z=l. Очевидно, удобнее всего такую замкнутую поверхность строить в цилиндрической системе координат. Проблема, однако, состоит в том, что в Maple в цилиндрической системе координат функциональной зависимостью является зависимость радиуса (координата р) от угла ф и координаты z. При таком подходе крайне неудобно задавать плоскость z=l. Поэтому опишем собственную цилиндрическую систему координат, в которой функциональной будет зависимость координаты г от двух других переменных. Делается это с помощью процедуры addcoords(). Первым ее параметром указывается название новой системы координат (new_cylind), затем следует список координат. Первая координата является при отображении графиков функцией двух других. Элементами следующего списка-параметра будут выражения для декартовых координат х, у и z через новые переменные.

После этого новую координатную систему можно использовать при построении графиков. В частности, боковая поверхность конуса задается уравнением z=p, а ограничивающая плоскость, как уже отмечалось, определяется уравнением z=l. Можем вызывать процедуру plot3d() (главное, не забыть указать, что график строится в новой системе координат: опция coords=new_cylind).

Заключительные замечания

На этом описание основных тем из курса математического анализа заканчивается. Безусловно, возможности Maple в данной области несоизмеримо шире. Однако подходов, описанных в главах 2—4, должно быть достаточно, чтобы создать фундамент для решения большинства задач прикладного характера, с которыми приходится сталкиваться как в процессе обучения, так и при проведении серьезных научных и инженерных исследований.

Следующая глава посвящена дифференциальным уравнениям и, в немалой степени, уравнениям математической физики. При решении соответствующих задач широко используются приемы и команды, описанные до этого. Предполагается, что читатель с ними уже знаком.

---

---