Анимация двумерной графики в пакете plottools

Пакет plottools открывает возможности реализации анимационной графики. Мы ограничимся одним примером анимации двумерных графиков. Этот пример представлен на Рисунок 12.29. В этом примере показана анимационная иллюстрация решения дифференциального уравнения, описывающего незатухающий колебательный процесс. Строится качающийся объект — стрелка с острием вправо, решение дифференциального уравнения в виде синусоиды и большая стрелка с острием влево, которая соединяет текущую точку графика синусоиды с острием стрелки колеблющегося объекта.

Этот пример наглядно показывает возможности применения анимации для визуализации достаточно сложных физических и математических закономерностей. Перспективы применения системы Maple 7 в создании виртуальных физических и иных лабораторий трудно переоценить.

Анимация с помощью параметра insequence

Еще один путь получения анимационных рисунков — создание ряда графических объектов pi, р2, рЗ и т. д. и их последовательный вывод с помощью функций display или display3d:

display (pl,p2.p3.....insequence=true)

display3d ( pi. p2. p3..., i nsequence=t rue)

Здесь основным моментом является применение параметра insequence=true. Именно он обеспечивает вывод одного за другим серии графических объектов pi, р2, рЗ и т. д. При этом объекты появляются по одному и каждый предшествующий объект стирается перед появлением нового объекта.

Анимация трехмерной графики в пакете plottools

Хорошим примером ЗD-анимации является документ, показанный на Рисунок 12.30. Представленная на нем процедура springPlot имитирует поведение упругой системы, первоначально сжатой, а затем выстреливающей шар, установленный на ее верхней пластине. Упругая система, состоит из неподвижного основания, на котором расположена упругая масса (например, из пористой резины), и верхней пластины.

Что нового мы узнали?

В этом уроке мы научились:

Пользоваться графикой пакета plots. Пользоваться техникой анимации графиков пакета plots. Применять графику пакета plottools. Использовать расширенные средства графической визуализации. Использовать расширенную технику создания графической анимации. Использовать новую функцию Maple 7 для построения стрелок. Строить сложные комбинированные графики.

Двумерный график векторного поля

Еще один распространенный способ представления трехмерных поверхностей —-графики полей векторов. Они часто применяются для отображения полей, например электрических зарядов. Особенность таких графиков в том, что для их построения используют стрелки, направление которых соответствует направлению изменения градиента поля, а длина — значению градиента. Так что термин «поле векторов» надо понимать в смысле, что поле графика заполнено векторами.

Для построения таких графиков в двумерной системе координат используется функция fieldplot:

fieldplot(f, r1, r2)

fieldplot(f, r1, r2. ...)

где f — вектор или множество векторов, задающих построение; r1 и r2 — пределы.

На Рисунок 12.4 в нижней части документа показан вид одного из таких графиков. Следует отметить, что для получения достаточного числа отчетливо видных стрелок надо поработать с форматированием графиков. Иначе графики этого типа могут оказаться не очень представительными. Так, слишком короткие стрелки превращаются в черточки и даже точки, не имеющие острия, что лишает графики наглядности.

Несколько позже мы рассмотрим построение на одном рисунке графиков плотности и векторного поля, а также создание более наглядных толстых стрелок.

Графическое представление содержимого матрицы

Многие вычисления имеют результаты, представляемые в форме матриц. Иногда такие результаты можно наглядно представить графически, например в виде гистограммы. Она представляет собой множество столбцов квадратного сечения, расположенных на плоскости, образованной осями строк (row), и столбцов (column) матрицы. При этом высота столбцов определяется содержимым ячеек матрицы.

Такое построение обеспечивает графическая функция matrixplot из пакета plots. На Рисунок 12.35 показано совместное применение этой функции с двумя функциями пакета linalg, формирующими две довольно экзотические матрицы А и В.

График плотности

Иногда поверхности отображаются на плоскости как графики плотности окраски — чем выше высота поверхности, тем плотнее (темнее) окраска. Такой вид графиков создается функцией densityplot. Она может записываться в двух форматах:

densityplot(exprl.x=a..b,y=c..d)

densityplot(f,a..b,c..d)

где назначение параметров соответствует указанному выше для функции contourplot. На Рисунок 12.4 (верхняя часть) дан пример построения графика такого типа. Нетрудно заметить, что в плоскости XY график разбит на квадраты, плотность окраски которых различна. В нашем случае плотность окраски задается оттенками серого цвета.

Графика пакета plottools

Примитивы пакета plottools

Инструментальный пакет графики plottools служит для создания графических примитивов, строящих элементарные геометрические объекты на плоскости и в пространстве: отрезки прямых и дуг, окружности, конусы, кубики и т. д. Его применение позволяет разнообразить графические построения и строить множество графиков специального назначения. В пакет входят следующие графические примитивы:

arc	arrow	circle	cone	cuboid
curve	cutln	cutout	cylinder	disk
dodecahedron	ellipse	ellipticArc	hemisphere	hexahedron
hyperbola	icosahedron	line	octahedron	pieslice
point tetrahedron	polygon torus	rectangle	semi torus	sphere

Примечание 1
Примечание 1

Вызов перечисленных примитивов осуществляется после загрузки пакета в память компьютера командой with(plottools). Только после этого примитивы пакета становятся доступными. Обычно примитивы используются для задания графических объектов, которые затем выводятся функцией display. Возможно применение этих примитивов совместно с различными графиками.

Большинство примитивов пакета plottools имеет довольно очевидный синтаксис. Например, для задания дуги используется примитив агс(с, r, а..b,...), где с — список с координатами центра окружности, к которой принадлежит дуга, г — радиус этой окружности, а.. b — диапазон углов. На месте многоточия могут стоять обычные параметры, задающие цвет дуги, толщину ее линии и т. д. Конус строится примитивом cone(c,r,h...), где с — список с координатами центра, г — радиус основания, h — высота и т. д. Все формы записи графических примитивов и их синтаксис можно найти в справочной системе. В необходимых случаях стоит проверить синтаксис того или иного примитива с помощью справки по пакету plottools.

Графики типа трехмерного поля из векторов

Наглядность ряда графиков можно существенно увеличить, строя их в трехмерном представлении. Например, для такого построения графиков полей из векторов можно использовать графическую функцию fieldplot3d. В отличие от функции fieldplot она строит стрелки как бы в трехмерном пространстве (Рисунок 12.8).

Графики в разных системах координат

В пакете plots имеется множество функций для построения графиков в различных системах координат. Объем книги не позволяет воспроизвести примеры всех видов таких графиков, ибо их многие сотни. Да это и не надо — во встроенных в справочную систему примерах можно найти все нужные сведения. Так что ограничимся лишь парой примеров применения функции tubeplot(C, options), позволяющей строить весьма наглядные фигуры в пространстве, напоминающие трубы или иные объекты, образованные фигурами вращения.

Иллюстрация итерационного решения уравнения f (х) = х

Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х =f(x) и применение метода простых итераций xk =s(xk-1) при заданном значениих0. Приведем пример такого решения:

>f :=x ->3*1n(x+l);

f:=x-> 3ln(x+1)

>x||0 := 0.5:

x0:=5

>x0 := .5;

x0:=.5

>for k from 1 to 16 do x||k := evalf( f(x||(k-l) )): od;

xl := 1.216395324

x2 := 2.387646445

x3 := 3.660406248

x4:= 4.617307866

x5:= 5.177557566

x6:= 5.462768931

x7:= 5.598173559

x8:= 5.660378631

x9 := 5.688529002

xl0:= 5.701181910

x11 := 5.706851745

x12 := 5.709388956

x13:= 5.710523646

x14 — 5.711030964

xl5:= 5.711257755

x16:= 5.711359134

Нетрудно заметить, что значения xk в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию solve:

Конформные отображения на комплексной плоскости

Объем данной книги не позволяет объяснить столь тонкое понятие, как конформные отображения на комплексной плоскости. Ограничимся лишь указанием на то, что в пакете plots имеется функция для таких отображений:

conformal(F,rl,r2,о);

где F — комплексная процедура или выражение; rl, г2 — области, задаваемые в виде а. .Ь или name=a. .b; о — управляющие параметры. Таким образом, для построения нужного графика достаточно задать нужное выражение и области изменения г! и г2. Пример построения конформных изображений для трех выражений дан на Рисунок 12.34.

Контурные трехмерные графики

В отличие от векторных графиков контурные графики поверхностей, наложенные на сами эти поверхности, нередко повышают восприимчивость таких поверхностей — подобно изображению линий каркаса. Для одновременного построения поверхности и контурных линий на них служит функция contourplot3d. Пример ее применения показан на Рисунок 12.9.

Для повышения наглядности этот график доработан с помощью контекстной панели инструментов графиков. В частности, включена функциональная окраска и подобраны углы обзора фигуры, при которых отчетливо видны ее впадина и пик.

Наблюдение надрав анимации поверхности

Наблюдение за развитием поверхности производит на многих (особенно на студентов) большое впечатление. Оно позволяет понять детали создания сложных трехмерных графиков и наглядно представить их математическую сущность. Рассмотрим анимацию поверхности на примере Рисунок 12.18.

Как и для случая анимации двумерного графика, большой интерес представляет построение всех фаз анимации на одном рисунке. Делается это точно так Же, как в двумерном случае. Это иллюстрирует Рисунок 12.53. На нем представлены 8 фаз анимации трехмерной поверхности cos(t*x*y/3), представленной функцией трех переменных t, х и у. При этом изменение первой переменной создает фазы анимации поверхности.

Новая функция для построения стрелок arrow

В пакет plots системы Maple 7 введена новая функция построения стрелок arrow. Она задается в виде arrow(u,[v,]opts) или arrow(U,opts)

Построение стрелок задается одномерными массивами координат начала стрелок и их направления и и v или двумерным массивом U, которые могут быть представлены векторами, списками или множествами. Вид стрелок задается параметром opts, который может иметь значения shape, length, width, head_width, head_length или plane и задает вид стрелок (форму, длину, ширину и т. д.). Детали задания параметров можно найти в справке по данной функции. Рисунок 12.54 дает наглядное представление о ее возможностях.

Пакет plots

Общая характеристика пакета plots

Пакет plots содержит почти полсотни графических функций, существенно расширяющих возможности построения двумерных и трехмерных графиков в Maple 7:

> with(plots);

[animate, animate3d, animatecurve, changecoords, complexplot, complexplotSd, conformal, contourplot, contourplotSd, coordplot, coordplotld, cylinderplot, densityplot, display, displayed, fteldplot,fieldplot3d, gradplot, gmdplotSd, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, HslcontplotSd, listdensityplot, listplot, Iistplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot>pareto,pointplot, pointplotSd, polarplot, polygonplot, polygonplotSd, palyhedrajsupported, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptionsSd, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplotSd, tubeplot]

Ввиду важности этого пакета отметим назначение всех его функций:

animate — создает анимацию двумерных графиков функций; animate3d — создает анимацию трехмерных графиков функций; animatecurve — создает анимацию кривых; changecoords — смена системы координат; complexplot — построение двумерного графика на комплексной плоскости; complexplot3d — построение трехмерного графика в комплексном пространстве; conformal — конформный график комплексной функции; contourplot — построение контурного графика; contourplot3d — построение трехмерного контурного графика; coordplot — построение координатной системы двумерных графиков; coordplot3d — построение координатной системы трехмерных графиков; cylinderplot — построение графика поверхности в цилиндрических координатах; densityplot — построение двумерного графика плотности; display — построение графика для списка графических объектов; display3d — построение графика для списка трехмерных графических объектов; fieldplot — построение графика двумерного векторного поля; fieldplot3d — построение графика трехмерного векторного поля; gradplot — построение графика двумерного векторного поля градиента; gradplot3d — построение графика трехмерного векторного поля градиента; implicitplot — построение двумерного графика неявной функции; implicitp1ot3d — построение трехмерного графика неявной функции; inequal — построение графика решения системы неравенств; listcontplot — построение двумерного контурного графика для сетки значений; Iistcontplot3d — построение трехмерного контурного графика для сетки значений; listdensityplot — построение двумерного графика плотности для сетки значений; listplot — построение двумерного графика для списка значений; listplot3d — построение трехмерного графика для списка значений; loglogplot — построение логарифмического двумерного графика функции; logplot — построение полулогарифмического двумерного графика функции; matrixplot — построение трехмерного графика со значениями Z, определенными матрицей; odeplot — построение двумерного или трехмерного графика решения дифференциальных уравнений; pareto — построение диаграммы (гистограммы и графика); pointplot — построение точками двумерного графика; poi ntplot3d — построение точками трехмерного графика; polarplot — построение графика двумерной кривой в полярной системе координат; polygonplot — построение графика одного или нескольких многоугольников; polygonplot3d — построение одного или нескольких многоугольников; polyhedraplot — построение трехмерного многогранника; replot — перестроение графика заново; rootlocus — построение графика корней уравнения с комплексными неизвестными; semilogplot — построение графика функции с логарифмическим масштабом по оси абсцисс; setoptions — установка параметров по умолчанию для двумерных графиков; setoptions3d — установка параметров по умолчанию для трехмерных графиков; spaeecurve — построение трехмерных кривых; sparsematrixplot — построение двумерного графика отличных от нуля значений матрицы; sphereplot — построение графика трехмерной поверхности в сферических координатах; surfdata — построение трехмерного графика поверхности по численным данным; textplot — вывод текста на заданное место двумерного графика; textplot3d — вывод текста на заданное место трехмерного графика; tubeplot — построение трехмерного графика типа «трубы».

Среди этих функций надо отметить прежде всего средства построения графиков ряда новых типов (например, в виде линий равного уровня, векторных полей и т. д.), а также средства объединения различных графиков в один. Особый интерес представляют две первые функции, обеспечивающие анимацию как двумерных (animate), так и трехмерных графиков (animate3d). Этот пакет вполне заслуживает описания в отдельной книге. Но, учитывая ограниченный объем данной книги, мы рассмотрим лишь несколько характерных примеров его применения. Заметим, что для использования приведенных функций нужен вызов пакета, например командой with(plots).

Построение двумерных анимированных графиков

Более обширные возможности анимации двумерных графиков обеспечивает функция animate:

ammate(F, х, t)

animate(F,x, t, о)

В ней параметр х задает пределы изменения переменной х, а параметр t — пределы изменения дополнительной переменной t. Суть анимации при использовании данной функции заключается в построении серии кадров (как в мультфильме), причем каждый кадр связан со значением изменяемой во времени переменной t. Если надо явно задать число кадров анимации N, то в качестве о следует использовать frame=N.

Рисунок 12.16 показывает применение функции animate.

Построение двумерных графиков типа implicitplot

В математике часто встречается особый тип задания геометрических фигур, при котором переменные х и у связаны неявной зависимостью. Например, окружность задается выражением х2 + у2 =R2, где R — радиус окружности. Для задания двумерного графика такого вида служит функция импликативной графики:

implicitplot(eqn,x=a..b,y=c..d,options)

Пример построения окружности с помощью этой функции показан на Рисунок 12.1, снизу. Чуть ниже мы рассмотрим подобную функцию и для трехмерного графика.

Построение графиков функций в

Построение графиков функций в двумерной полярной системе координат

В пакете plots есть функция для построения графиков в полярной системе координат. Она имеет вид polarplot(L,o), где L — объекты для задания функции, график которой строится, и о — необязательные параметры. На Рисунок 12.1, сверху, представлен пример построения графика с помощью функции polarplot. В данном случае для большей выразительности опущено построение координатных осей, а график выведен линией удвоенной толщины. График очень напоминает лист клена, весьма почитаемого в Канаде и ставшего эмблемой Maple.

Построение графиков из множества фигур

В ряде случаев бывает необходимо строить графики, представляющие собой множество однотипных фигур. Для построения таких графиков полезно использовать функцию повторения seq(f ,i=a. .b). На Рисунок 12.28 показано построение фигуры, образованной вращением прямоугольника вокруг одной из вершин.

Построение графиков линиями равного уровня

Графики, построенные с помощью линий равного уровня (их также называют контурными графиками), часто используются в картографии. Эти графики получаются, если мысленно провести через трехмерную поверхность ряд равноотстоящих плоскостей, параллельных плоскости, образованной осями X иY графика. Линии равных высот образуются в результате пересечения этих плоскостей с трехмерной поверхностью.

Для построения таких графиков используется функция contourplot, которая может использоваться в нескольких форматах:

contourplot(exprl,x=a..b,y=c..d)

contourplot(f,a..b,c..d)

contourplot([exprf ,exprg,exprh ] S=a. .b,t=c. .d)

contourplot([f.g.h ],a..b,c..d)

contourp1ot3d(exprl,x=a..b,y=c. .d)

contourplot3d(f,a..b,c..d)

contourplot3d([exprf,exprg,exprh],s=a..b,t=c,.d)

contourplot3d([f.g.h ],a..b,c..d)

Здесь f, g и h — функции; exprl — выражение, описывающее зависимость высоты поверхности от координат х и у; exprf, exprg и exprh — выражения, зависящие от s и t, описывающие поверхность в параметрической форме; а и b — константы вещественного типа; end — константы или выражения вещественного типа; х, у, s и t — имена независимых переменных.

На Рисунок 12.2 показано построение графика линиями равного уровня для одной функции. Параметр filled=true обеспечивает автоматическую функциональную окраску замкнутых фигур, образованных линиями равного уровня. Порою это придает графику большую выразительность, чем при построении только линий равного уровня.

Построение сложных фигур импликативной графики

Импликативные функции (см. урок 7) нередко имеют графики весьма любопытного вида. Ограничимся парой примеров построения таких графиков, представленных на Рисунок 12.49. Эти фигуры напоминают контурные графики функции двух переменных.

Приведенные примеры дают весьма наглядное представление о больших возможностях визуализации решений самых различных задач в системе Maple V. Можно значительно расширить их, эффектно используя описанные ранее приемы анимации изображений. В целом надо отметить, что графические возможности Maple 7 дают новый уровень качества графики современных математических систем, о котором с десяток лет тому назад можно было только мечтать.

Построение сложных фигур в полярной системе координат

Некоторые виды математической графики имеют определенную художественную ценность и фигурируют в символике различных стран и общественных организаций. Остановимся на нескольких таких примерах применительно к графике в полярной системе координат. Представим фигуры, образованные множеством линий на плоскости.

Рисунок 12.46 демонстрирует одну из таких фигур. Это семейство из 10 кардиоид разного размера. Параметр scallIng=constrained обеспечивает правильное отображение фигур — каждая кардиоида вписывается в огибающую ее невидимую окружность. Размер кардиоид задается значением параметра а.

Построение сложных комбинированных графиков

В заключение этой главы рассмотрим построение с помощью системы Maple 7 достаточно сложных комбинированных графиков, содержащих различные графические и текстовые объекты. Пример построения такого графика представлен на Рисунок 12.55.

Построение трехмерных анимационных графиков

Аналогичным образом может осуществляться и анимирование трехмерных фигур. Для этого используется функция animate3d:

animate3d(F,x, y,t,o)

Здесь F — описание функции (или функций); х, у и t — диапазоны изменения переменных х, у и t Для задания числа кадров N надо использовать необязательный параметр о в виде frame=N.

На Рисунок 12.18 показано построение анимированного графика. После задания функции, график которой строится, необходимо выделить график и запустить проигрыватель, как это описывалось для анимации двумерных графиков.

Примеры применения двумерных примитивов пакета plottools

На Рисунок 12.19 показано применение нескольких примитивов двумерной графики для построения дуги, окружности, закрашенного красным цветом эллипса и отрезка прямой. Кроме того, на графике показано построение синусоиды. Во избежание искажений пропорций фигур надо согласовывать диапазон изменения переменной х. Обычно параметр scalling=constrained выравнивает масштабы и диапазоны по осям координат, что гарантирует отсутствие искажений у окружностей и других геометрических фигур. Однако при этом размеры графика нередко оказываются малыми. Напоминаем, что- этот параметр можно задать и с помощью подменю Projection.

Примеры применения трехмерных примитивов пакета plottools

Аналогичным описанному выше образом используются примитивы построения трехмерных фигур. Это открывает возможность создания разнообразных иллюстрационных рисунков и графиков, часто применяемых при изучении курса стереометрии. Могут строиться самые различные объемные фигуры и поверхности — конусы, цилиндры, кубы, полиэдры и т. д. Использование средств функциональной окраски делает изображения очень реалистичными.

Рисунок 12.22 показывает построение цилиндра и двух граненых шаров. Цилиндр строится примитивом cylinder, а граненые шары — примитивом icosahedron.

Другой пример (Рисунок 12.23) иллюстрирует построение на одном графике двух объемных фигур, одна из которых находится внутри другой фигуры. Этот пример демонстрирует достаточно корректное построение вложенных фигур. На Рисунок 12.24 показано совместное построение двух пересекающихся кубов и сферы в пространстве. Нетрудно заметить, что графика пакета приблизительно (с точностью до сегмента) вычисляет области пересечения фигур. С помощью контекстно-зависимого меню правой кнопки мыши (оно показано на Рисунок 12.24) можно устанавливать условия обзора фигур, учитывать перспективу при построении и т. д. В частности, фигуры на Рисунок 12.24 показаны в перспективе.

Проигрыватель анимированной графики

При включенном выводе панели форматирования во время анимации она приобретает вид панели проигрывателя клипов (Рисунок 12.15). Эта панель имеет кнопки управления с обозначениями, принятыми у современных магнитофонов:

1. Поле координат перемещающейся точки графика.

2. Остановка анимации.

3. Пуск анимации.

4. Переход к следующему кадру (фрейму).

5. Установка направления анимации от конца в начало.

6. Установка направления анимации из начала в конец (по умолчанию).

7. Уменьшение времени шага анимации.

8. Увеличение времени шага анимации.

9. Установка одиночного цикла анимации.

10. Установка серии циклов анимации.

Итак, кнопки проигрывателя, по существу, повторяют команды подменю управления анимацией.

Нажав кнопку пуска (с треугольником, острием обращенным вправо), можно наблюдать изменение вида кривой для функции sin(x)/(x). Другие кнопки управляют характером анимации. Проигрыватель дает удобные средства для демонстрации анимации, например, во время занятий со школьниками или студентами.

Расширенная техника анимации

Анимирование разложения импульса в ряд Фурье

Анимирование изображений является одним из самых мощных средств визуализации результатов моделирования тех или иных зависимостей или явлений.

Порою изменение во времени одного из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической или физической сути.

Здесь мы расширим представление об анимации и рассмотрим не вполне обычный пример — наблюдение в динамике за гармоническим синтезом некоторой произвольной функции f(x) на отрезке изменения л; от 0 до 1. Значения функции f(x) могут быть одного знака или разных знаков. В этом примере можно наблюдать в динамике синтез заданной функции рядом Фурье с ограниченным числом синусных членов (гармоник) — до 1, 2, 3..JV. На Рисунок 12.50 представлен документ, реализующий такое разложение и затем синтез для пилообразного линейно нарастающего импульса, описываемого выражением f(x) = -1 + 2 *х. На графике строится исходная функция и результат ее синтеза в динамике анимации.

Расширенные средства графической визуализации

Рисунок 12.33. Пример графической интерпретации решения системы неравенств
Обратите внимание на задание цветов: optionsfeasible задает цвет внутренней области, для которой удовлетворяются все неравенства (равенства), optionsopen и optionsdosed задают цвета открытых и закрытых границ областей графика, optionsexcluded используется для цвета внешних областей. График дает весьма наглядную интерпретацию действия ряда неравенств (или равенств).

Шаг 1

Результат выглядит необычно — помимо довольно "очевидного корнях x= 0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение:
> evalf(%);
0., 5.711441084
Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно для этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой f(x) — и наносят на них ступенчатую линию перемещения точки xk. Специальной функции для графиков подобного рода Maple 7 не имеет. Однако можно составить специальную процедуру для их построения .Ее листинг, заимствованный из примера, описанного в пакете обучения системе Maple 7 - PowerTools, представлен ниже:

Семейство кардиоид на одном графике

Шаг 1

Рисунок 12.46. Семейство кардиоид на одном графике
Еще одно семейство кардиоид, на сей раз шестилепестковых, представлено на Рисунок 12.47. Здесь также изменяемым параметром каждой фигуры является ее размер, заданный параметром а.
Фигуре, представленной на Рисунок 12.48, трудно дать определенное название. Назовем ее волнообразной спиралью.
По образу и подобию приведенных фигур читатель может опробовать свои силы в создании новых красочных фигур в полярной системе координат. Некоторые из них поразительно напоминают снежинки, картинки в калейдоскопе и изображения морских звезд. Если убрать параметр color=black, .введенный ради черно-белой печати картинок в книге, то можно усилить красочность фигур за счет их разноцветной окраски.

Шаг 1

кадр анимации, когда число гармоник

Шаг 1

Рисунок 12.50. Один из первых стоп-кадров анимации разложения импульса в ряд Фурье
Рисунок 12.51 показывает завершающий стоп- кадр анимации, когда число гармоник N равно 30. Нетрудно заметить, что такое число гармоник в целом неплохо описывает большую часть импульса, хотя в. его начале и в конце все еще заметны сильные отклонения.
Для f(x) = 1 строится приближение для однополярного импульса с длительностью 1 и амплитудой 1, при f(x) =х — приближение для пилообразного линейно нарастающего импульса, при f(x) =х^2 — приближение для нарастающего по параболе импульса, при f(x)=signum(x-l/2) — приближение для симметричного прямоугольного импульса-меандра и т. д. Фактически можно наблюдать анимационную картину изменения формы импульса по мере увеличения числа используемых для синтеза гармоник. Выбор используемого числа гармоник осуществляет амплитудный селектор — функция a= f(t,k), основанная на применении функции Хевисайда.

Применение анимации дает повышенную степень

Шаг 1

Рисунок 12.53. Фазы анимации трехмерной поверхности
Применение анимации дает повышенную степень визуализации решений ряда задач, связанных с построением двумерных и трехмерных графиков. Следует отметить, что построение анимированных графиков требует дополнительных и достаточно существенных затрат оперативной памяти. Поэтому злоупотреблять числом стоп-кадров таких графиков не стоит.

Пример построения графика функции линиями

Шаг 1

Рисунок 12.2. Пример построения графика функции линиями равного уровня
Обратите внимание на то, что данная функция по умолчанию строит легенду — она видна под графиком в виде линий с надписями. К сожалению, в данном варианте окраски сами контурные линии получаются черными и их невозможно отличить. Однако если убрать параметр filled=true, то контурные линии (и линии легенды) будут иметь разный цвет и легко различаться.
Функция contourplot позволяет строить и графики ряда функций. Пример такого построения показан на Рисунок 12.3. Множество окружностей на этом рисунке создается четырьмя поверхностями, заданными функциями cl, с2, сЗ и с4.

с помощью функции arrow

Шаг 1

Рисунок 12.54. Построение стрелок с помощью функции arrow

Шаг 1

Рисунок 12.26. Построение фигуры «улитка»

Пример анимации двумерной графики

Шаг 2

Рисунок 12.29. Пример анимации двумерной графики

Шаг 2

Рисунок 12.14. Пример совместного применения графиков плотности и векторного поля
Этот пример иллюстрирует использование «жирных*- стрелок .для обозначения векторного поля. Наглядность графика повышается благодаря наложению стрелок на график плотности, который лучше, чем собственно стрелки, дает представление о плавности изменения высоты поверхности, заданной функцией.

Цвета при визуализации в процедуре shape_plot

Таблица 12.1. Цвета при визуализации в процедуре shape_plot

Изменение /(х)	Цвет
Возрастание	Синий
Убывание	Красный
Площадь	Цвет
Над минимумом	Зеленый
Под максимумом	Коралловый

Например, для функции:

Техника анимирования графиков

Анимация двумерных графиков

Визуализация графических построений и результатов моделирования различных объектов и явлений существенно повышается при использовании средств «оживления» "(анимации) изображений. Пакет plots имеет две простые функции для создания анимированных графиков.

Первая из этих функций служит для создания анимации графиков, представляющих функцию одной переменной F(x):

animatecurve(F, r, ...)

Эта функция просто позволяет наблюдать медленное построение графика. Формат ее применения подобен используемому в функции plot. При вызове данной функции вначале строится пустой шаблон графика. Если активизировать шаблон мышью, то в строке главного меню появляется меню Animation. Меню Animation содержит команды управления анимацией. Такое же подменю появляется и в контекстном (Рисунок 12.15). Указанное подменю содержит следующие команды анимации:

Play — запуск построения графика; Next — выполнение следующего шага анимации; Backward/Forward — переключение направления анимации (назад/вперед); Faster — ускорение анимации; Slower — замедление анимации; Continiuus/Singlecycle — цикличность анимации.

При исполнении команды Play происходит построение кривой (или нескольких кривых). В зависимости от выбора команд Faster или Slower построение идет быстро или медленно. Команда Next выполняет один шаг анимации -построение очередного фрагмента кривой. Переключатель Backward/Forward позволяет задать направление построения кривой - от начала к концу или от конца к началу. Построение может быть непрерывным или циклическим в зависимости от состояния позиции Continiuus/Singlecycle в подменю управления анимацией. При циклической анимации число циклов задается параметром frames=n.

Техника визуализации сложных пространственных фигур

Приведенные выше достаточно простые примеры дают представление о высоком качестве визуализации геометрических фигур с помощью пакета plots. Здесь мы рассмотрим еще несколько примеров визуализации трехмерных фигур. Многие видели катушки индуктивности, у которых провод того или иного диаметра намотан на тороидальный магнитный сердечник. Некую математическую абстракцию такой катушки иллюстрирует Рисунок 12.10.

В документе Рисунок 12.10 для функции tubeplot использовано довольно большое число параметров. Не всегда их действие очевидно. Поэтому на Рисунок 12.11 показано построение трех взаимно пересекающихся торов с разными наборами параметров. Этот рисунок дает также наглядное представление о возможности построения нескольких графических объектов (представленных функциями pi, р2 и рЗ) с помощью функции tubeplot.

Трехмерный график типа implicitplot3d

Трехмерные поверхности также могут задаваться уравнениями неявного вида. В этом случае для построения их графиков используется функция implicitplot3d:

implicitplot3d(exprl,x=a..b,y=c.,d,z=p..q,<options>)

implicitplot3d(f,a..b,c..d,p..q,<options>)

На Рисунок 12.5 показаны два примера построения объемных фигур с помощью функции implicitplot3d.

Эти примеры хорошо иллюстрируют технику применения функции implicitplot3d. С ее помощью можно строить весьма своеобразные фигуры, что, впрочем, видно и из приведенных примеров. Для наглядности фигур на Рисунок 12.5 они несколько развернуты в пространстве с помощью мыши.

Визуализация дифференциальных параметров кривых

Дифференциальные параметры функции f(x), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования. Так, точки с нулевой первой производной задают области, где кривая нарастает (первая производная положительна) или убывает (первая производная отрицательна) с ростом аргументах. Нули второй производной задают точки перегиба кривой.

Следующая графическая процедура служит для визуализации поведения кривой /, = /(.г) на отрезке изменениях от а до b:

Визуализация корней случайных полиномов

Визуализация корней случайных полиномов.

Наряду с традиционной для математических и статистических программ возможностью генерации случайных чисел Maple 7 предоставляет довольно экзотическую возможность генерации случайных полиномов с высокой максимальной степенью. Для этого используется функция:

randpoly(var,o)

Она возвращает случайный полином переменной var, причем максимальная степень полинома птах может указываться параметром о вида degree=nmax.

Приведем примеры генерации случайного полинома с максимальной степенью 50:

Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области

Теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньютоновских итераций с их представлением на комплексной плоскости. На Рисунок 12.36 задана функция /(г) комплексного аргумента. Проследить за поведением этой функции на комплексной плоскости в ходе ньютоновских итераций позволяет графическая функция complexplot3d из пакета plots.

Наблюдаемая картина весьма необычна и свидетельствует о далеко не простом ходе итерационного процесса.

Визуализация построения касательной и перпендикуляра

В ряде геометрических построений нужно отроить касательную и перпендикуляр к кривой, отображающей произвольную функцию f(x) в заданной точке х =а. Рисунок 12.40 поясняет, как это можно сделать. Линии касательной Т(х) и перпендикуляра N(x) определены аналитически через производную в заданной точке.

Во избежание геометрических искажений положения касательной и перпендикуляра при построении графика функцией plot надо использовать параметр scaling=constrained.

Визуализация поверхностей со многими экстремумами

Maple 7 дает прекрасные возможности для визуализации поверхностей, имеющих множество пиков и впадин, другими словами, экстремумов. Рисунок 12.38 показывает задание «вулканической» поверхности с глубокой впадиной, окруженной пятью пиками. Здесь полезно обратить внимание на способ задания такой поверхности f(a, b, с) как функции трех переменных a, b и с. Он обеспечивает индивидуальное задание координат каждого экстремума и его высоты (отрицательной для впадины).

Визуализация решения систем линейных уравнений

Мы уже не раз использовали графические возможности Maple для визуализации решений математических задач. Так, многие особенности даже функций одной переменной вида f(x) могут быть выявлены с помощью графика этой функции. Затем можно точно вычислить корни функции (точки перехода через 0), экстремумы, "крутизну наклона (производную) в заданных точках и т. д. Еще более информативна в этом отношении трехмерная графика — для большинства функций двух переменных вида z(x, у) нужно очень богатое математическое воображение, чтобы представить их вид — особенно в одной из многих десятков координатных систем.

Однако некоторые виды графиков трудно представить себе даже при наличии такого воображения. В этом отношении Maple 7 предоставляет поистине уникальные возможности, обеспечивая простую и быструю визуализацию решений. Ниже мы рассмотрим несколько наиболее характерных примеров такой визуализации. Системы линейных уравнений могут решаться как с помощью функции solve, так и с помощью матричных методов. Замечательной возможностью функции solve является возможность решения относительно ограниченного числа переменных. Например, систему линейных уравнений с переменными х, у, z, t и v можно решить относительно только первых трех переменных х, у и г. При этом решения будут функциями относительно переменных t и v и можно будет построить наглядный график решения (Рисунок 12.32).

Визуализация решения систем неравенств

Пожалуй, еще более полезным и наглядным средством является визуализация решения системы уравнений в виде неравенств. В пакете plots имеется специальная графическая функция inequal, которая строит все граничные линии неравенств и позволяет раскрасить разделенные ими области различными цветами:

inequal(ineqs, xspec, yspec, options)

Параметры этой функции следующие: ineqs — одно или несколько неравенств или равенств или список неравенств или равенств; xspec — xvar=min_x. .max_x; yspec — yvar=min_y. .max_y; о — необязательные параметры, например указывающие цвета линий, представляющих неравенства или равенства, и областей, образованных этими линиями и границами графика. Пример применения этой функции представлен на Рисунок 12,33.

Визуализация теоремы Пифагора

Еще один пример наглядного геометрического представления математических понятий — визуализация известной теоремы Пифагора (Рисунок 12.42).

В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата.

Визуализация вычисления определенных интегралов

Часто возникает необходимость в геометрическом представлении определенных интегралов в виде алгебраической суммы площадей, ограниченных кривой подынтегральной функции f(x), осью абсцисс х и вертикалями х =а их =b (пределами интегрирования). При этом желательно обеспечение закраски верхней и нижней (отрицательной и положительной) площадей разными цветами, например зеленым для верхней площади и красным для нижней. Как известно, численное значение определенного интеграла есть разность этих площадей.

К сожалению, в Maple 7 нет встроенной функции, явно дающей такое построение. Однако ее несложно создать. На Рисунок 12.41 представлена процедура a_plot, решающая эту задачу. Параметрами процедуры являются интегрируемая функция/(д:) (заданная как функция пользователя), пределы интегрирования а и b и пределы слева am и справа bm, задающие область построения графика f(x).

Рисунок 12.41 дает прекрасное представление о сущности интегрирования для определенного интеграла. Приведенную на этом рисунке процедуру можно использовать для подготовки Эффектных уроков по интегрированию разных функций.