Анимация двумерной графики в пакете plottools

Пакет plottools открывает возможности реализации анимационной графики. Мы ограничимся одним примером анимации двумерных графиков. Этот пример представлен на рис. 12.29. В этом примере показана анимационная иллюстрация решения дифференциального уравнения, описывающего незатухающий колебательный процесс. Строится качающийся объект — стрелка с острием вправо, решение дифференциального уравнения в виде синусоиды и большая стрелка с острием влево, которая соединяет текущую точку графика синусоиды с острием стрелки колеблющегося объекта.

Этот пример наглядно показывает возможности применения анимации для визуализации достаточно сложных физических и математических закономерностей. Перспективы применения системы Maple 7 в создании виртуальных физических и иных лабораторий трудно переоценить.

Анимация двумерных графиков

Визуализация графических построений и результатов моделирования различных объектов и явлений существенно повышается при использовании средств «оживления» "(анимации) изображений. Пакет plots имеет две простые функции для создания анимированных графиков.

Первая из этих функций служит для создания анимации графиков, представляющих функцию одной переменной F(x):

animatecurve(F, r, ...)

Эта функция просто позволяет наблюдать медленное построение графика. Формат ее применения подобен используемому в функции plot. При вызове данной функции вначале строится пустой шаблон графика. Если активизировать шаблон мышью, то в строке главного меню появляется меню Animation. Меню Animation содержит команды управления анимацией. Такое же подменю появляется и в контекстном (рис. 12.15). Указанное подменю содержит следующие команды анимации: 

Play — запуск построения графика;  Next — выполнение следующего шага анимации;  Backward/Forward — переключение направления анимации (назад/вперед);  Faster — ускорение анимации;  Slower — замедление анимации; Continiuus/Singlecycle — цикличность анимации.

При исполнении команды Play происходит построение кривой (или нескольких кривых). В зависимости от выбора команд Faster или Slower построение идет быстро или медленно. Команда Next выполняет один шаг анимации -построение очередного фрагмента кривой. Переключатель Backward/Forward позволяет задать направление построения кривой - от начала к концу или от конца к началу. Построение может быть непрерывным или циклическим в зависимости от состояния позиции Continiuus/Singlecycle в подменю управления анимацией. При циклической анимации число циклов задается параметром frames=n.

Рис. 12.15. Пример анимационного построения графика функцией animatecurve

Анимация с помощью параметра insequence

Еще один путь получения анимационных рисунков — создание ряда графических объектов pi, р2, рЗ и т. д. и их последовательный вывод с помощью функций display или display3d:

display (pl,p2.p3.....insequence=true) 

display3d ( pi. p2. p3..., i nsequence=t rue)

Здесь основным моментом является применение параметра insequence=true. Именно он обеспечивает вывод одного за другим серии графических объектов pi, р2, рЗ и т. д. При этом объекты появляются по одному и каждый предшествующий объект стирается перед появлением нового объекта.

Анимация трехмерной графики в пакете plottools

Хорошим примером ЗD-анимации является документ, показанный на рис. 12.30. Представленная на нем процедура springPlot имитирует поведение упругой системы, первоначально сжатой, а затем выстреливающей шар, установленный на ее верхней пластине. Упругая система, состоит из неподвижного основания, на котором расположена упругая масса (например, из пористой резины), и верхней пластины.

Рис. 12.28. Построение фигуры, образованной вращением прямоугольника

Рис.12.29. Пример анимации двумерной графики

Рис. 12.30. Имитация отстрела шара сжатой упругой системой

Управление анимацией, реализованной средствами пакета plottools, подобно уже описанному ранее. Последний пример также прекрасно иллюстрирует возможности применения Maple 7 при математическом моделировании различных явлений, устройств и систем.

Анимирование разложения импульса в ряд Фурье

Анимирование изображений является одним из самых мощных средств визуализации результатов моделирования тех или иных зависимостей или явлений.

Порою изменение во времени одного из параметров зависимости дает наглядное представление о его математической или физической сути.

Здесь мы расширим представление об анимации и рассмотрим не вполне обычный пример — наблюдение в динамике за гармоническим синтезом некоторой произвольной функции f(x) на отрезке изменения л; от 0 до 1. Значения функции f(x) могут быть одного знака или разных знаков. В этом примере можно наблюдать в динамике синтез заданной функции рядом Фурье с ограниченным числом синусных членов (гармоник) — до 1, 2, 3..JV. На рис. 12.50 представлен документ, реализующий такое разложение и затем синтез для пилообразного линейно нарастающего импульса, описываемого выражением f(x) = -1 + 2 *х. На графике строится исходная функция и результат ее синтеза в динамике анимации.

Рис. 12.50. Один из первых стоп-кадров анимации разложения импульса в ряд Фурье

Рисунок 12.51 показывает завершающий стоп-кадр анимации, когда число гармоник N равно 30. Нетрудно заметить, что такое число гармоник в целом неплохо описывает большую часть импульса, хотя в. его начале и в конце все еще заметны сильные отклонения.

Для f(x) = 1 строится приближение для однополярного импульса с длительностью 1 и амплитудой 1, при f(x) =х — приближение для пилообразного линейно нарастающего импульса, при  f(x) =х^2 — приближение для нарастающего по параболе импульса, при f(x)=signum(x-l/2) — приближение для симметричного прямоугольного импульса-меандра и т. д. Фактически можно наблюдать анимационную картину изменения формы импульса по мере увеличения числа используемых для синтеза гармоник. Выбор используемого числа гармоник осуществляет амплитудный селектор — функция a= f(t,k), основанная на применении функции Хевисайда.

Рис. 12.51. Второй (завершающий) кадр анимации

Самым интересным в этом примере оказывается наблюдение за зарождением и эволюцией эффекта Гиббса — так называют волнообразные колебания на вершине импульса, связанные с ограничением числа гармоник при синтезе сигнала.
С ростом числа гармоник эффект Гиббса не исчезает, просто обусловленные им выбросы вблизи разрывов импульса становятся более кратковременными. Амплитуда импульсов может достигать 18% от амплитуды перепадов сигнала, что сильно ухудшает приближение импульсных сигналов рядами Фурье и вынуждает математиков разрабатывать особые меры по уменьшению эффекта Гиббса.

Можно ли наблюдать одновременно все фазы анимации? Можно! Для этого достаточно оформить анимационную картину, созданную функцией animate, в виде отдельного графического, объекта  например g, после чего можно вывести все его фазы оператором display. Это и иллюстрирует рис. 12.52. На этот раз задано f(x) = signum(x-l/2) и N = 25. Таким образом рассматриваются симметричные прямоугольные импульсы - меандр. У каждого рисунка координатные оси с делениями удалены параметром axes=none.

Рис. 12.52. Иллюстрация получения всех кадров анимации двумерного графика

Любопытно отметить, что при определенных числах гармоник связанная с колебательными процессами неравномерность вершины импульса резко уменьшается. Наблюдение этого явления и является наиболее интересным и поучительным при просмотре данного примера.

При внимательном просмотре рис. 12.52 заметно, что после некоторого периода установления фазы анимационной картинки практически повторяются. Это связано с известным обстоятельством — установившийся спектр меандра содержит только нечетные гармоники. Поэтому, к примеру, вид спектрального разложения при 22 гармониках будет тот же, что и при 21 гармонике, при 24 гармониках тот же, что при 23, и т. д. Однако эта закономерность проявляется только при установившемся (стационарном) спектре.

Двумерный график векторного поля

Еще один распространенный способ представления трехмерных поверхностей —-графики полей векторов. Они часто применяются для отображения полей, например электрических зарядов. Особенность таких графиков в том, что для их построения используют стрелки, направление которых соответствует направлению изменения градиента поля, а длина — значению градиента. Так что термин «поле векторов» надо понимать в смысле, что поле графика заполнено векторами.

Для построения таких графиков в двумерной системе координат используется функция fieldplot:

 fieldplot(f, r1, r2)

 fieldplot(f, r1, r2. ...)

где f —  вектор или множество векторов, задающих построение; r1 и r2 — пределы.

На рис. 12.4 в нижней части документа показан вид одного из таких графиков. Следует отметить, что для получения достаточного числа отчетливо видных стрелок надо поработать с форматированием графиков. Иначе графики этого типа могут оказаться не очень представительными. Так, слишком короткие стрелки превращаются в черточки и даже точки, не имеющие острия, что лишает графики наглядности.

Несколько позже мы рассмотрим построение на одном рисунке графиков плотности и векторного поля, а также создание более наглядных толстых стрелок.

Графическое представление содержимого матрицы

Многие вычисления имеют результаты, представляемые в форме матриц. Иногда такие результаты можно наглядно представить графически, например в виде гистограммы. Она представляет собой множество столбцов квадратного сечения, расположенных на плоскости, образованной осями строк (row), и столбцов (column) матрицы. При этом высота столбцов определяется содержимым ячеек матрицы.

Такое построение обеспечивает графическая функция matrixplot из пакета plots. На рис. 12.35 показано совместное применение этой функции с двумя функциями пакета linalg, формирующими две довольно экзотические матрицы А и В.

Рис. 12. 35. Графическое представление матрицы

На рис. 12.35 показана графическая визуализация матрицы, полученной как разность матриц А и В. Для усиления эффекта восприятия применяется функциональная закраска разными цветами. Для задания цвета введена процедура F.

График плотности

Иногда поверхности отображаются на плоскости как графики плотности окраски — чем выше высота поверхности, тем плотнее (темнее) окраска. Такой вид графиков создается функцией densityplot. Она может записываться в двух форматах:

 densityplot(exprl.x=a..b,y=c..d) 

 densityplot(f,a..b,c..d)

где назначение параметров соответствует указанному выше для функции contourplot. На рис. 12.4 (верхняя часть) дан пример построения графика такого типа. Нетрудно заметить, что в плоскости XY график разбит на квадраты, плотность окраски которых различна. В нашем случае плотность окраски задается оттенками серого цвета.

Рис. 12.4. Графики плотности и поля векторов

Обычно графики такого типа не очень выразительны, но имеют свои области применения. К примеру, оттенки окраски полупрозрачной жидкости могут указывать на рельеф поверхности дна емкости, в которой находится эта жидкость.

Графики типа трехмерного поля из векторов

Наглядность ряда графиков можно существенно увеличить, строя их в трехмерном представлении. Например, для такого построения графиков полей из векторов можно использовать графическую функцию fieldplot3d. В отличие от функции fieldplot она строит стрелки как бы в трехмерном пространстве (рис. 12.8).

Рис. 12.6. Построение графика- «улитки»

Рис. 12.7. Фигура «цепи», построенная с применением функции tubeplot

Рис. 12.8. Построение поля в трехмерном пространстве с помощью векторов

Все сказанное об особенностях таких двумерных графиков остается справедливым и для графиков трехмерных. В частности, для обеспечения достаточной наглядности нужно тщательно отлаживать форматы представления таких графиков.

Графики в разных системах координат

В пакете plots имеется множество функций для построения графиков в различных системах координат. Объем книги не позволяет воспроизвести примеры всех видов таких графиков, ибо их многие сотни. Да это и не надо — во встроенных в справочную систему примерах можно найти все нужные сведения. Так что ограничимся лишь парой примеров применения функции tubeplot(C, options), позволяющей строить весьма наглядные фигуры в пространстве, напоминающие трубы или иные объекты, образованные фигурами вращения.

Рис. 12.5. Примеры применения функции implidtplot3d

На рис. 12.6 показана одна из таких фигур. Она поразительно напоминает раковину улитки. Функциональная окраска достигнута доработкой графика с помощью панели форматирования.

Эта функция может использоваться и для построения ряда трубчатых объектов в пространстве. При этом автоматически задается алгоритм удаления невидимых линий даже для достаточно сложных фигур. Это наглядно иллюстрирует пример на рис. 12.7, показывающий фигуру «цепи». Не правда ли, реалистичность этой фигуры поражает воображение?

 Можно долго размышлять о том, как те или иные математические закономерности описывают предметы реального мира, положенные в основу тех или иных геометрических объектов, или, возможно, о гениальности людей, сумевших найти такие закономерности для многих из таких объектов. В наше время Maple 7 открывает огромные возможности для таких людей.

Иллюстрация итерационного решения уравнения f (х) = х

Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х =f(x) и применение метода простых итераций xk =s(xk-1) при заданном значениих0. Приведем пример такого решения:

>f :=x ->3*1n(x+l); 

f:=x-> 3ln(x+1) 

>x||0 := 0.5:

x0:=5 

>x0 := .5;

x0:=.5

>for k from 1 to 16 do x||k := evalf( f(x||(k-l) )): od;

xl := 1.216395324

x2 := 2.387646445

x3 := 3.660406248

x4:= 4.617307866

x5:= 5.177557566

x6:= 5.462768931

 x7:= 5.598173559

x8:= 5.660378631 

x9 := 5.688529002

xl0:= 5.701181910

x11 := 5.706851745

x12 := 5.709388956

x13:= 5.710523646

x14 — 5.711030964

xl5:= 5.711257755

x16:= 5.711359134

Нетрудно заметить, что значения xk в ходе итераций явно сходятся к некоторому значению. Проведем проверку решения, используя встроенную функцию solve:

Результат выглядит необычно — помимо довольно "очевидного корнях x= 0 значение другого корня получено в виде специальной функции Ламберта. Впрочем, нетрудно найти и его численное значение: 

> evalf(%); 

0., 5.711441084

Однако как сделать процесс решения достаточно наглядным? Обычно для этого строят графики двух зависимостей — прямой х и кривой f(x) — и наносят на них ступенчатую линию перемещения точки xk. Специальной функции для графиков подобного рода Maple 7 не имеет. Однако можно составить специальную процедуру для их построения .Ее листинг, заимствованный из примера, описанного в пакете обучения системе Maple 7 - PowerTools, представлен ниже:

Параметрами этой процедуры являются: f1 — функция f(x); а и b — пределы изменениях при построении графика; х0 — значение х, с которого начинаются итерации. Исполнив команду:

>rec_p1ot( f(x), 0, 8, х0):

можно наблюдать график, иллюстрирующий итерационный процесс. Он представлен на рис. 12.45.

Рис. 12.45. Иллюстрация процесса итераций

Нетрудно заметить, что для данной функции процесс итераций хотя и не очень быстро, но уверенно сходится к точке пересечения прямой у = х и кривой y=f(x). Вы можете, меняя зависимость f(x), провести исследования сходимости уравнений х = f(x).

Конформные отображения на комплексной плоскости

Объем данной книги не позволяет объяснить столь тонкое понятие, как конформные отображения на комплексной плоскости. Ограничимся лишь указанием на то, что в пакете plots имеется функция для таких отображений:

conformal(F,rl,r2,о);

где F — комплексная процедура или выражение; rl, г2 — области, задаваемые в виде а. .Ь или name=a. .b; о — управляющие параметры. Таким образом, для построения нужного графика достаточно задать нужное выражение и области изменения г! и г2. Пример построения конформных изображений для трех выражений дан на рис. 12.34.

Рис. 12.34. Конформное отображение на комплексной плоскости графиков трех зависимостей

Средства конформного отображения в Maple 7, к сожалению, остаются рудиментарными и вряд ли достаточными для специалистов в этой области математики.

Контурные трехмерные графики

В отличие от векторных графиков контурные графики поверхностей, наложенные на сами эти поверхности, нередко повышают восприимчивость таких поверхностей — подобно изображению линий каркаса. Для одновременного построения поверхности и контурных линий на них служит функция contourplot3d. Пример ее применения показан на рис. 12.9.

Для повышения наглядности этот график доработан с помощью контекстной панели инструментов графиков. В частности, включена функциональная окраска и подобраны углы обзора фигуры, при которых отчетливо видны ее впадина и пик.

Рис. 12.9. График поверхности с контурными линиями

Наблюдение надрав анимации поверхности

Наблюдение за развитием поверхности производит на многих (особенно на студентов) большое впечатление. Оно позволяет понять детали создания сложных трехмерных графиков и наглядно представить их математическую сущность. Рассмотрим анимацию поверхности на примере рис. 12.18.

Как и для случая анимации двумерного графика, большой интерес представляет построение всех фаз анимации на одном рисунке. Делается это точно так Же, как в двумерном случае. Это иллюстрирует рис. 12.53. На нем представлены 8 фаз анимации трехмерной поверхности cos(t*x*y/3), представленной функцией трех переменных t, х и у. При этом изменение первой переменной создает фазы анимации поверхности.

Рис. 12.53. Фазы анимации трехмерной поверхности

Применение анимации дает повышенную степень визуализации решений ряда задач, связанных с построением двумерных и трехмерных графиков. Следует отметить, что построение анимированных графиков требует дополнительных и достаточно существенных затрат оперативной памяти. Поэтому злоупотреблять числом стоп-кадров таких графиков не стоит.

Новая функция для построения стрелок arrow

В пакет plots системы Maple 7 введена новая функция построения стрелок arrow. Она задается в виде arrow(u,[v,]opts) или arrow(U,opts)

Построение стрелок задается одномерными массивами координат начала стрелок и их направления и и v или двумерным массивом U, которые могут быть представлены векторами, списками или множествами. Вид стрелок задается параметром opts, который может иметь значения shape, length, width, head_width, head_length или plane и задает вид стрелок (форму, длину, ширину и т. д.). Детали задания параметров можно найти в справке по данной функции. Рисунок 12.54 дает наглядное представление о ее возможностях.

Рис. 12.54. Построение стрелок с помощью функции arrow

Общая характеристика пакета plots

Пакет plots содержит почти полсотни графических функций, существенно расширяющих возможности построения двумерных и трехмерных графиков в Maple 7:

> with(plots);

[animate, animate3d, animatecurve, changecoords, complexplot, complexplotSd, conformal, contourplot, contourplotSd, coordplot, coordplotld, cylinderplot, densityplot, display, displayed, fteldplot,fieldplot3d, gradplot, gmdplotSd, implicitplot, implicitplot3d, inequal, listcontplot, HslcontplotSd, listdensityplot, listplot, Iistplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, odeplot>pareto,pointplot, pointplotSd, polarplot, polygonplot, polygonplotSd, palyhedrajsupported, polyhedraplot, replot, rootlocus, semilogplot, setoptions, setoptionsSd, spacecurve, sparsematrixplot, sphereplot, surfdata, textplot, textplotSd, tubeplot]

Ввиду важности этого пакета отметим назначение всех его функций:

 animate — создает анимацию двумерных графиков функций;  animate3d — создает анимацию трехмерных графиков функций;  animatecurve — создает анимацию кривых;  changecoords — смена системы координат;  complexplot — построение двумерного графика на комплексной плоскости;  complexplot3d — построение трехмерного графика в комплексном пространстве;  conformal — конформный график комплексной функции;  contourplot — построение контурного графика;  contourplot3d — построение трехмерного контурного графика;  coordplot — построение координатной системы двумерных графиков;  coordplot3d — построение координатной системы трехмерных графиков;  cylinderplot — построение графика поверхности в цилиндрических координатах;  densityplot — построение двумерного графика плотности;  display — построение графика для списка графических объектов;  display3d — построение графика для списка трехмерных графических объектов;  fieldplot — построение графика двумерного векторного поля;  fieldplot3d — построение графика трехмерного векторного поля;  gradplot — построение графика двумерного векторного поля градиента;  gradplot3d — построение графика трехмерного векторного поля градиента;  implicitplot — построение двумерного графика неявной функции;  implicitp1ot3d — построение трехмерного графика неявной функции;  inequal — построение графика решения системы неравенств;  listcontplot — построение двумерного контурного графика для сетки значений;  Iistcontplot3d — построение трехмерного контурного графика для сетки значений;  listdensityplot — построение двумерного графика плотности для сетки значений;  listplot — построение двумерного графика для списка значений;  listplot3d — построение трехмерного графика для списка значений;  loglogplot — построение логарифмического двумерного графика функции;  logplot — построение полулогарифмического двумерного графика функции;  matrixplot — построение трехмерного графика со значениями Z, определенными матрицей;  odeplot — построение двумерного или трехмерного графика решения дифференциальных уравнений;  pareto — построение диаграммы (гистограммы и графика);  pointplot — построение точками двумерного графика;  poi ntplot3d — построение точками трехмерного графика;  polarplot — построение графика двумерной кривой в полярной системе координат;  polygonplot — построение графика одного или нескольких многоугольников;   polygonplot3d — построение одного или нескольких многоугольников;   polyhedraplot — построение трехмерного многогранника;   replot — перестроение графика заново;  rootlocus — построение графика корней уравнения с комплексными неизвестными;  semilogplot — построение графика функции с логарифмическим масштабом по оси абсцисс;  setoptions — установка параметров по умолчанию для двумерных графиков;  setoptions3d — установка параметров по умолчанию для трехмерных графиков;  spaeecurve — построение трехмерных кривых;  sparsematrixplot — построение двумерного графика отличных от нуля значений матрицы;  sphereplot — построение графика трехмерной поверхности в сферических координатах;  surfdata — построение трехмерного графика поверхности по численным данным;  textplot — вывод текста на заданное место двумерного графика;   textplot3d — вывод текста на заданное место трехмерного графика;   tubeplot — построение трехмерного графика типа «трубы».

Среди этих функций надо отметить прежде всего средства построения графиков ряда новых типов (например, в виде линий равного уровня, векторных полей и т. д.), а также средства объединения различных графиков в один. Особый интерес представляют две первые функции, обеспечивающие анимацию как двумерных (animate), так и трехмерных графиков (animate3d). Этот пакет вполне заслуживает описания в отдельной книге. Но, учитывая ограниченный объем данной книги, мы рассмотрим лишь несколько характерных примеров его применения. Заметим, что для использования приведенных функций нужен вызов пакета, например командой with(plots).

Построение двумерных анимированных графиков

Более обширные возможности анимации двумерных графиков обеспечивает функция animate:

ammate(F, х, t)

animate(F,x, t, о) 

В ней параметр х задает пределы изменения переменной х, а параметр t — пределы изменения дополнительной переменной t. Суть анимации при использовании данной функции заключается в построении серии кадров (как в мультфильме), причем каждый кадр связан со значением изменяемой во времени переменной t. Если надо явно задать число кадров анимации N, то в качестве о следует использовать frame=N.

Рисунок 12.16 показывает применение функции animate.

Рис. 12.16. Анимация функции sin(i*x)/(i*x) на фоне неподвижной синусоиды

В документе рис. 12.16 строятся две функции — не создающая анимации функция sin(x) и создающая анимацию функция sin(i*x)/(i*x), причем в качестве переменной t задана переменная i. Именно ее изменение и создает эффект анимации. Проигрыватель анимационных клипов и меню, описанные выше, могут использоваться для управления и этим видом анимации. Обратите внимание на вызов графических функций в этом примере командой with и на синтаксис записи этих функций.

К сожалению, картинки в книгах всегда неподвижны и воспроизвести эффект анимации невозможно. Можно лишь представить несколько текущих кадров анимации. Представленная на рис. 12.16 картина соответствует последнему кадру анимации.

Еще один пример анимации представлен на рис. 12.17. Этот документ показывает кадр анимированного процесса улучшения приближения синусоидальной функции рядом с различным числом членов (и порядком последнего члена ряда). Результирующая картина, изображенная на рис. 12.17, показывает как приближаемую синусоидальную функцию, так и графики всех рядов, которые последовательно выводятся в ходе анимации.

Рис. 12.17. Анимационная демонстрация приближения синусоиды рядом с меняющимся числом членов

Анимация графиков может найти самое широкое применение при создании учебных материалов. С ее помощью можно акцентировать внимание на отдельных параметрах графиков и образующих их функций и наглядно иллюстрировать характер их изменений.

Построение двумерных графиков типа implicitplot

В математике часто встречается особый тип задания геометрических фигур, при котором переменные х и у связаны неявной зависимостью. Например, окружность задается выражением  х2 + у2 =R2, где R — радиус окружности. Для задания двумерного графика такого вида служит функция импликативной графики:

implicitplot(eqn,x=a..b,y=c..d,options)

Пример построения окружности с помощью этой функции показан на рис. 12.1, снизу. Чуть ниже мы рассмотрим подобную функцию и для трехмерного графика.

Рис. 12.1. Графики, построенные с помощью функций polarptot и impticitplot

Построение графиков функций в двумерной полярной системе координат

В пакете plots есть функция для построения графиков в полярной системе координат. Она имеет вид polarplot(L,o), где L — объекты для задания функции, график которой строится, и о — необязательные параметры. На рис. 12.1, сверху, представлен пример построения графика с помощью функции polarplot. В данном случае для большей выразительности опущено построение координатных осей, а график выведен линией удвоенной толщины. График очень напоминает лист клена, весьма почитаемого в Канаде и ставшего эмблемой Maple.

Построение графиков из множества фигур

В ряде случаев бывает необходимо строить графики, представляющие собой множество однотипных фигур. Для построения таких графиков полезно использовать функцию повторения seq(f ,i=a. .b). На рис. 12.28 показано построение фигуры, образованной вращением прямоугольника вокруг одной из вершин.

Рис. 12.25. Построение трехмерной фигуры — «шкурки ежа»

Рис. 12.26. Построение фигуры «улитка»

Рис. 12.27. Построение фигуры «бутылка Клейна»

В этом примере полезно обратить внимание еще и на функцию поворота фигуры — rotate. Именно сочетание этих двух функций (мультиплицирования и поворота базовой фигуры — прямоугольника) позволяет получить сложную фигуру, показанную на рис. 12.28.

Построение графиков линиями равного уровня

Графики, построенные с помощью линий равного уровня (их также называют контурными графиками), часто используются в картографии. Эти графики получаются, если мысленно провести через трехмерную поверхность ряд равноотстоящих плоскостей, параллельных плоскости, образованной осями X иY графика. Линии равных высот образуются в результате пересечения этих плоскостей с трехмерной поверхностью.

Для построения таких графиков используется функция contourplot, которая может использоваться в нескольких форматах:

contourplot(exprl,x=a..b,y=c..d)

contourplot(f,a..b,c..d)

contourplot([exprf ,exprg,exprh ] S=a. .b,t=c. .d)

contourplot([f.g.h ],a..b,c..d)

contourp1ot3d(exprl,x=a..b,y=c. .d)

contourplot3d(f,a..b,c..d)

contourplot3d([exprf,exprg,exprh],s=a..b,t=c,.d)

contourplot3d([f.g.h ],a..b,c..d)

Здесь f, g и h — функции; exprl — выражение, описывающее зависимость высоты поверхности от координат х и у; exprf, exprg и exprh — выражения, зависящие от s и t, описывающие поверхность в параметрической форме; а и b — константы вещественного типа; end — константы или выражения вещественного типа; х, у, s и t — имена независимых переменных.

На рис. 12.2 показано построение графика линиями равного уровня для одной функции. Параметр filled=true обеспечивает автоматическую функциональную окраску замкнутых фигур, образованных линиями равного уровня. Порою это придает графику большую выразительность, чем при построении только линий равного уровня.

Рис. 12.2. Пример построения графика функции линиями равного уровня

Обратите внимание на то, что данная функция по умолчанию строит легенду — она видна под графиком в виде линий с надписями. К сожалению, в данном варианте окраски сами контурные линии получаются черными и их невозможно отличить. Однако если убрать параметр filled=true, то контурные линии (и линии легенды) будут иметь разный цвет и легко различаться.

Функция contourplot позволяет строить и графики ряда функций. Пример такого построения показан на рис. 12.3. Множество окружностей на этом рисунке создается четырьмя поверхностями, заданными функциями cl, с2, сЗ и с4.

Пример построения графиков многих функций

Рис. 12.3. Пример построения графиков многих функций линиями равного уровня

ВНИМАНИЕ 

Обратите внимание, что на многих графиках Maple 7 по умолчанию вписывает легенду,то есть список линий с обозначениями. Иногда (как, например, на рис. 12.3) этот список оказывается просто некстати. Легенду можно убрать, расширив заодно место для графика, сняв флажок Show Legend в меню Legend, которое появляется при двойном щелчке на графике (это меню видно на рис. 12.3). То же самое можно сделать с помощью той же команды в контекстном меню. Заодно запомните, что легенду можно редактировать, выполнив команду Edit Legend. 

Следует отметить, что хотя графики в виде линий равного уровня выглядят не так эстетично и естественно, как обычные графики трехмерных поверхностей (ибо требуют осмысления результатов), у них есть один существенный плюс - экстремумы функций на таких графиках выявляются порой более четко, чем на обычных графиках. Например, небольшая возвышенность или впадина за большой «горой» на обычном графике может оказаться невидимой, поскольку заслоняется «горой». На графике линий равного уровня этого эффекта нет. Однако выразительность таких графиков сильно зависит от числа контурных линий.

Построение ряда графиков, расположенных по горизонтали

Обычно если в строке ввода задается построение нескольких графиков, то в строке вывода все они располагаются по вертикали. Это не всегда удобно, например, при снятии копий экрана с рядом графиков, поскольку экран монитора вытянут по горизонтали, а не по вертикали. Однако при применении функций plots и display можно разместить ряд двумерных графиков в строке вывода по горизонтали. Это демонстрирует пример, показанный на рис. 12.31. Этот пример достаточно прост и нагляден, так что читатель может пользоваться данной возможностью всегда, когда ему это нужно.

Рис. 12.31. Пример расположения трех графиков в строке вывода по горизонтали

Построение сложных фигур импликативной графики

Импликативные функции (см. урок 7) нередко имеют графики весьма любопытного вида. Ограничимся парой примеров построения таких графиков, представленных на рис. 12.49. Эти фигуры напоминают контурные графики функции двух переменных.

Приведенные примеры дают весьма наглядное представление о больших возможностях визуализации решений самых различных задач в системе Maple V. Можно значительно расширить их, эффектно используя описанные ранее приемы анимации изображений. В целом надо отметить, что графические возможности Maple 7 дают новый уровень качества графики современных математических систем, о котором с десяток лет тому назад можно было только мечтать.

Рис. 12.49. Построение сложных фигур, заданных импликативными функциями

Построение сложных фигур в полярной системе координат

Некоторые виды математической графики имеют определенную художественную ценность и фигурируют в символике различных стран и общественных организаций. Остановимся на нескольких таких примерах применительно к графике в полярной системе координат. Представим фигуры, образованные множеством линий на плоскости.

Рисунок 12.46 демонстрирует одну из таких фигур. Это семейство из 10 кардиоид разного размера. Параметр scallIng=constrained обеспечивает правильное отображение фигур — каждая кардиоида вписывается в огибающую ее невидимую окружность. Размер кардиоид задается значением параметра а.

Рис.12.46. Семейство кардиоид на одном графике

Еще одно семейство кардиоид, на сей раз шестилепестковых, представлено на рис. 12.47. Здесь также изменяемым параметром каждой фигуры является ее размер, заданный параметром а.

Фигуре, представленной на рис. 12.48, трудно дать определенное название. Назовем ее волнообразной спиралью.

По образу и подобию приведенных фигур читатель может опробовать свои силы в создании новых красочных фигур в полярной системе координат. Некоторые из них поразительно напоминают снежинки, картинки в калейдоскопе и изображения морских звезд. Если убрать параметр color=black, .введенный ради черно-белой печати картинок в книге, то можно усилить красочность фигур за счет их разноцветной окраски.

Рис. 12.47. Семейство шестилепестковых кардиоид

Рис. 12.48. Фигура— волнообразная спираль

Построение сложных комбинированных графиков

В заключение этой главы рассмотрим построение с помощью системы Maple 7 достаточно сложных комбинированных графиков, содержащих различные графические и текстовые объекты. Пример построения такого графика представлен на рис. 12.55.

Рис. 12.55. Пример построения сложного объекта, состоящего из 8 графических и текстовых объектов

Представленный на рис. 12.55 объект задает построение восьми графических объектов от р! до р8. Среди них цилиндр, две пересекающие его плоскости и иные (в том числе текстовые) объекты. Обратите внимание на способ вывода этих объектов функцией display3d. Этот пример показывает, что с помощью графических программных средств Maple 7 можно строить достаточно замысловатые графики, которые могут использоваться для визуализации тех или иных геометрических и иных объектов.

Построение трехмерных анимационных графиков

Аналогичным образом может осуществляться и анимирование трехмерных фигур. Для этого используется функция animate3d:

animate3d(F,x, y,t,o)

Здесь F — описание функции (или функций); х, у и t — диапазоны изменения переменных х, у и t Для задания числа кадров N надо использовать необязательный параметр о в виде frame=N.

На рис. 12.18 показано построение анимированного графика. После задания функции, график которой строится, необходимо выделить график и запустить проигрыватель, как это описывалось для анимации двумерных графиков.

Рис. 12.18. Подготовка трехмерного анимационного графика

На рис. 12.18 показано также контекстное меню поля выделенного графика. Нетрудно заметить, что с помощью этого меню (и содержащихся в нем подменю) можно получить доступ к параметрам трехмерной графики и выполнить необходимые операции форматирования, такие как включение цветовой окраски, выбор ориентации фигуры и т. д.

Назначение параметров, как и средств управления проигрывателем анимационных клипов, было описано выше.

Примеры применения двумерных примитивов пакета plottools

На рис. 12.19 показано применение нескольких примитивов двумерной графики для построения дуги, окружности, закрашенного красным цветом эллипса и отрезка прямой. Кроме того, на графике показано построение синусоиды. Во избежание искажений пропорций фигур надо согласовывать диапазон изменения переменной х. Обычно параметр scalling=constrained выравнивает масштабы и диапазоны по осям координат, что гарантирует отсутствие искажений у окружностей и других геометрических фигур. Однако при этом размеры графика нередко оказываются малыми. Напоминаем, что- этот параметр можно задать и с помощью подменю Projection.

Рис. 12.19. Примеры применения примитивов двумерной графики пакета plottools

Рисунок 12.20 иллюстрирует построение средствами пакета plottools четырех разноцветных стрелок, направленных в разные стороны. Цвет стрелок задан списком цветов с, определенным после команды загрузки пакета. Для построения стрелок используется примитив arrow с соответствующими параметрами.

Рис. 12.20. Построение разноцветных стрелок, направленных в разные стороны

Примитивы могут использоваться в составе графических процедур, что позволяет конструировать практически любые типы сложных графических объектов. В качестве примера на рис. 12.21 представлена процедура SmithChart, которая строит хорошо известную электрикам диаграмму Смита (впрочем, несколько упрощенную). В этой процедуре используется примитив построения дуг arc. При этом задается верхняя часть диаграммы, а нижняя получается ее зеркальным отражением.

ПРИМЕЧАНИЕ 

Обратите внимание на то, что, начиная с рис. 12.21, мы не указываем загрузку паета plottools, поскольку она уже была проведена ранее. Однако надо помнить, что все примеры этого раздела предполагают, что такая загрузка обеспечена. Если вы использовали команду restart или только что загрузили систему Maple 7, то для исполнения примера рис. 12.21 и последующих примеров надо исполнить команду with(plottools).

Рис. 12.21. Построение диаграммы Смита

Примеры применения трехмерных примитивов пакета plottools

Аналогичным описанному выше образом используются примитивы построения трехмерных фигур. Это открывает возможность создания разнообразных иллюстрационных рисунков и графиков, часто применяемых при изучении курса стереометрии. Могут строиться самые различные объемные фигуры и поверхности — конусы, цилиндры, кубы, полиэдры и т. д. Использование средств функциональной окраски делает изображения очень реалистичными.

Рисунок 12.22 показывает построение цилиндра и двух граненых шаров. Цилиндр строится примитивом cylinder, а граненые шары — примитивом icosahedron.

Другой пример (рис. 12.23) иллюстрирует построение на одном графике двух объемных фигур, одна из которых находится внутри другой фигуры. Этот пример демонстрирует достаточно корректное построение вложенных фигур. На рис. 12.24 показано совместное построение двух пересекающихся кубов и сферы в пространстве. Нетрудно заметить, что графика пакета приблизительно (с точностью до сегмента) вычисляет области пересечения фигур. С помощью контекстно-зависимого меню правой кнопки мыши (оно показано на рис. 12.24) можно устанавливать условия обзора фигур, учитывать перспективу при построении и т. д. В частности, фигуры на рис. 12.24 показаны в перспективе.

Рис. 12.22. Построение цилиндра и двух граненых шаров

Рис. 12.23. Построение двух объемных фигур

Рис. 12.24. Примеры применения примитивов трехмерной графики пакета plottools

Построение еще одной забавной трехмерной фигуры — «шкурки ежа» — демонстрирует рис. 12.25. В основе построения лежит техника создания полигонов. Построение фигур, очень напоминающих улитки, показано на рис. 12.26. При построении этих фигур используется функция tubeplot. Обратите внимание на то, что строятся две входящие друг в друга «улитки».

Наконец, на рис. 12.27 показано построение фигуры — бутылки Клейна. Фигура задана рядом своих фрагментов, определенных в процедуре cleinpoints. Эта процедура является еще одним наглядным примером программирования графических построений с помощью Maple-языка.

С другими возможностями этого пакета читатель теперь справится самостоятельно или с помощью данных справочной системы. Много примеров построения сложных и красочных фигур с применением пакета plottools можно найти в Интернете на сайте фирмы Maple Software, в свободно распространяемой библиотеке пользователей системы Maple и в книгах по этой системе.

Примитивы пакета plottools

Инструментальный пакет графики plottools служит для создания графических примитивов, строящих элементарные геометрические объекты на плоскости и в пространстве: отрезки прямых и дуг, окружности, конусы, кубики и т. д. Его применение позволяет разнообразить графические построения и строить множество графиков специального назначения. В пакет входят следующие графические примитивы:

arc	arrow	circle	cone	cuboid
curve	cutln	cutout	cylinder	disk
dodecahedron	ellipse	ellipticArc	hemisphere	hexahedron
hyperbola	icosahedron	line	octahedron	pieslice
point tetrahedron	polygon torus	rectangle	semi torus	sphere

ПРИМЕЧАНИЕ

 Вызов перечисленных примитивов осуществляется после загрузки пакета в память компьютера командой with(plottools). Только после этого примитивы пакета становятся доступными. Обычно примитивы используются для задания графических объектов, которые затем выводятся функцией display. Возможно применение этих примитивов совместно с различными графиками.

Большинство примитивов пакета plottools имеет довольно очевидный синтаксис. Например, для задания дуги используется примитив агс(с, r, а..b,...), где с — список с координатами центра окружности, к которой принадлежит дуга, г — радиус этой окружности, а.. b — диапазон углов. На месте многоточия могут стоять обычные параметры, задающие цвет дуги, толщину ее линии и т. д. Конус строится примитивом cone(c,r,h...), где с — список с координатами центра, г — радиус основания, h — высота и т. д. Все формы записи графических примитивов и их синтаксис можно найти в справочной системе. В необходимых случаях стоит проверить синтаксис того или иного примитива с помощью справки по пакету plottools.

Проигрыватель анимированной графики

При включенном выводе панели форматирования во время анимации она приобретает вид панели проигрывателя клипов (рис. 12.15). Эта панель имеет кнопки управления с обозначениями, принятыми у современных магнитофонов:

1. Поле координат перемещающейся точки графика.

2. Остановка анимации.

3. Пуск анимации.

4. Переход к следующему кадру (фрейму).

5. Установка направления анимации от конца в начало.

6. Установка направления анимации из начала в конец (по умолчанию).

7. Уменьшение времени шага анимации.

8. Увеличение времени шага анимации.

9. Установка одиночного цикла анимации.

10. Установка серии циклов анимации.

Итак, кнопки проигрывателя, по существу, повторяют команды подменю управления анимацией.

Нажав кнопку пуска (с треугольником, острием обращенным вправо), можно наблюдать изменение вида кривой для функции sin(x)/(x). Другие кнопки управляют характером анимации. Проигрыватель дает удобные средства для демонстрации анимации, например, во время занятий со школьниками или студентами.

Техника визуализации сложных пространственных фигур

Приведенные выше достаточно простые примеры дают представление о высоком качестве визуализации геометрических фигур с помощью пакета plots. Здесь мы рассмотрим еще несколько примеров визуализации трехмерных фигур. Многие видели катушки индуктивности, у которых провод того или иного диаметра намотан на тороидальный магнитный сердечник. Некую математическую абстракцию такой катушки иллюстрирует рис. 12.10.

В документе рис. 12.10 для функции tubeplot использовано довольно большое число параметров. Не всегда их действие очевидно. Поэтому на рис. 12.11 показано построение трех взаимно пересекающихся торов с разными наборами параметров. Этот рисунок дает также наглядное представление о возможности построения нескольких графических объектов (представленных функциями pi, р2 и рЗ) с помощью функции tubeplot.

Рис. 12.10. Тор с обмоткой — толстой спиралью

Рис. 12.11. Три пересекающихся тора с разными стилями построения

Наконец, на рис. 12.12 показано построение тора с тонкой обмоткой. Рекомендуется внимательно посмотреть на запись функции tubeplot в этом примере и в примере, показанном на рис. 12.11. Можно также поэкспериментировать с управляющими параметрами графика, от которых сильно зависят его представительность и наглядность.

Рис. 12.12. Тор с тонкой обмоткой

В ряде случаев наглядно представленные фигуры можно строить путем объединения однотипных фигур. Пример графика подобного рода представлен на рис. 12.13. Здесь готовится список графических объектов s, смещенных по вертикали. С помощью функции display они воспроизводятся на одном графике, что повышает реалистичность изображения.

Последний пример имеет еще одну важную особенность — он иллюстрирует задание графической процедуры, в теле которой используются функции пакета plots. Параметр п этой процедуры задает число элементарных фигур, из которых строится полная фигура. Таким образом, высотой фигуры (или шириной «шины») можно управлять. Возможность задания практически любых графических процедур средствами Maple-языка существенно расширяет возможности Maple.

Наглядность таких графиков, как графики плотности и векторных полей может быть улучшена их совместным применением. Такой пример показан на рис. 12.14.

Рис. 12.13. Построение фигуры, напоминающей шину автомобиля

Рис. 12.14. Пример совместного применения графиков плотности и векторного поля

Этот пример иллюстрирует использование «жирных*- стрелок .для обозначения векторного поля. Наглядность графика повышается благодаря наложению стрелок на график плотности, который лучше, чем собственно стрелки, дает представление о плавности изменения высоты поверхности, заданной функцией.

Трехмерный график типа implicitplot3d

Трехмерные поверхности также могут задаваться уравнениями неявного вида. В этом случае для построения их графиков используется функция implicitplot3d:

implicitplot3d(exprl,x=a..b,y=c.,d,z=p..q,<options>)

implicitplot3d(f,a..b,c..d,p..q,<options>)

На рис. 12.5 показаны два примера построения объемных фигур с помощью функции implicitplot3d.

Эти примеры хорошо иллюстрируют технику применения функции implicitplot3d. С ее помощью можно строить весьма своеобразные фигуры, что, впрочем, видно и из приведенных примеров. Для наглядности фигур на рис. 12.5 они несколько развернуты в пространстве с помощью мыши.

Визуализация дифференциальных параметров кривых

Дифференциальные параметры функции f(x), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования. Так, точки с нулевой первой производной задают области, где кривая нарастает (первая производная положительна) или убывает (первая производная отрицательна) с ростом аргументах. Нули второй производной задают точки перегиба кривой.

Следующая графическая процедура служит для визуализации поведения кривой /, = /(.г) на отрезке изменениях от а до b:

В этой процедуре заданы следующие цвета (их можно изменить): Таблица 12.1. Цвета при визуализации в процедуре shape_plot

Изменение /(х)	Цвет
Возрастание	Синий
Убывание	Красный
Площадь	Цвет
Над минимумом	Зеленый
Под максимумом	Коралловый

Например, для функции:

построенный график будет иметь вид, представленный на рис. 12.43 (естественно, в книге цвета — лишь оттенки серого).

Рисунок 12.43 дает наглядное представление о поведении заданной функции. Рекомендуется опробовать данную процедуру на других функциях. Следует отметить, что, поскольку процедура использует функции ntiroimize и maximize, она может давать сбои при исследовании сложных функций, содержащих специальные математические функции или особенности. Иногда можно избежать такой ситуации, исключив особенность. Например, для анализа функции sin(x)/x можно записать ее в виде:

>f:=x->if x=0 then 1 else sin(x)/x  

end if; 

shape_plot(f(x),-10,10);

Исполнение приведенной выше строки ввода дает график, представленный на рис. 12.44.

Рис. 12.43. Визуализация поведения функции f(х)

Рис. 12.44. Визуализация поведения функции sin(x)/x

Данная процедура дает хорошие результаты при анализе функций, представленных полиномами. Вы можете сами убедиться в этом.

Визуализация корней случайных полиномов.

Наряду с традиционной для математических и статистических программ возможностью генерации случайных чисел Maple 7 предоставляет довольно экзотическую возможность генерации случайных полиномов с высокой максимальной степенью. Для этого используется функция:

randpoly(var,o)

Она возвращает случайный полином переменной var, причем максимальная степень полинома птах может указываться параметром о вида degree=nmax.

Приведем примеры генерации случайного полинома с максимальной степенью 50:

С помощью функции аllvalues можно построить список SA корней случайного полинома. А с помощью команды вида:

> with(plots):

complexplot(SA.x=-1.2..1.2.style=point):

построить комплексные корни полученного случайного полинома в виде точек • на комплексной плоскости. Один из таких графиков (их можно построить множество) показан на рис. 12.37.

Рис. 12.37. Расположение корней случайного полинома на комплексной плоскости

Можно заметить любопытную закономерность — точки, представляющие корни случайного полинома, укладываются вблизи окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Однако этот пример, приводимый в ряде книг по Maple, показывает, что порою вычисления могут давать довольно неожиданные результаты. Кстати говоря, аналитически можно вычислять корни полинома с максимальной степенью не более четырех.

Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области

Теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньютоновских итераций с их представлением на комплексной плоскости. На рис. 12.36 задана функция /(г) комплексного аргумента. Проследить за поведением этой функции на комплексной плоскости в ходе ньютоновских итераций позволяет графическая функция complexplot3d из пакета plots.

Наблюдаемая картина весьма необычна и свидетельствует о далеко не простом ходе итерационного процесса.

Рис. 12.36. Наблюдение за процессом ньютоновских итераций в трехмерном пространстве

ВНИМАНИЕ

 Риск работы с этим примером заключается в том, что в системе Maple 7 он иногда вызывает фатальные ошибки, ведущие к прекращению работы с системой. Обычно при запуске этого примера сразу после загрузки системы Maple такого не происходит, но, когда память загружена, сбой вполне возможен. Объективности ради надо заметить, что в системах Maple 6 и 7 подобное поведение системы не было замечено. Тем не менее рекомендуется записывать подобные примеры на диск перед их запуском.

Визуализация построения касательной и перпендикуляра

В ряде геометрических построений нужно отроить касательную и перпендикуляр к кривой, отображающей произвольную функцию f(x) в заданной точке х =а. Рисунок 12.40 поясняет, как это можно сделать. Линии касательной Т(х) и перпендикуляра N(x) определены аналитически через производную в заданной точке.

Во избежание геометрических искажений положения касательной и перпендикуляра при построении графика функцией plot надо использовать параметр scaling=constrained.

Рис. 12.39. Построение графика поверхности, заданной функцией двух угловых переменных

Рис. 12.40. Построение касательной и перпендикуляра к заданной точке графика функции f(x)

Визуализация поверхностей со многими экстремумами

Maple 7 дает прекрасные возможности для визуализации поверхностей, имеющих множество пиков и впадин, другими словами, экстремумов. Рисунок 12.38 показывает задание «вулканической» поверхности с глубокой впадиной, окруженной пятью пиками. Здесь полезно обратить внимание на способ задания такой поверхности f(a, b, с) как функции трех переменных a, b и с. Он обеспечивает индивидуальное задание координат каждого экстремума и его высоты (отрицательной для впадины).

Рис. 12.38. Построение графика поверхности с множеством экстремумов

Наглядность этого графика усилена за счет применения функциональной окраски и контурных линий, нанесенных на саму поверхность. Все эти возможности обеспечивают параметры основной функции plot3d.

А на рис. 12.39 представлен еще один способ задания поверхности — с помощью функции двух угловых переменных f(theta, phi).

При построении этого рисунка также используются функциональная окраска и построение контурных линий. 

Визуализация решения систем линейных уравнений

Мы уже не раз использовали графические возможности Maple для визуализации решений математических задач. Так, многие особенности даже функций одной переменной вида f(x) могут быть выявлены с помощью графика этой функции. Затем можно точно вычислить корни функции (точки перехода через 0), экстремумы, "крутизну наклона (производную) в заданных точках и т. д. Еще более информативна в этом отношении трехмерная графика — для большинства функций двух переменных вида z(x, у) нужно очень богатое математическое воображение, чтобы представить их вид — особенно в одной из многих десятков координатных систем.

Однако некоторые виды графиков трудно представить себе даже при наличии такого воображения. В этом отношении Maple 7 предоставляет поистине уникальные возможности, обеспечивая простую и быструю визуализацию решений. Ниже мы рассмотрим несколько наиболее характерных примеров такой визуализации. Системы линейных уравнений могут решаться как с помощью функции solve, так и с помощью матричных методов. Замечательной возможностью функции solve является возможность решения относительно ограниченного числа переменных. Например, систему линейных уравнений с переменными х, у, z, t и v можно решить относительно только первых трех переменных х, у и г. При этом решения будут функциями относительно переменных t и v и можно будет построить наглядный график решения (рис. 12.32).

Рис. 12.32. График, представляющий решения системы линейных уравнений

На рис. 12.32 система задана пятью равенствами: el, е2, еЗ, е4 и е5. Затем функцией solve получено вначале решение для всех переменных (для иллюстрации), а затем для трех переменных х, у и z. Для получения решения в виде списка, а не множества, как в первом случае для всех переменных, использована функция подстановки subs. После этого функция plot3d строит плоскость решения в пространстве.

Визуализация решения систем неравенств

Пожалуй, еще более полезным и наглядным средством является визуализация решения системы уравнений в виде неравенств. В пакете plots имеется специальная графическая функция inequal, которая строит все граничные линии неравенств и позволяет раскрасить разделенные ими области различными цветами:

inequal(ineqs, xspec, yspec, options)

Параметры этой функции следующие: ineqs — одно или несколько неравенств или равенств или список неравенств или равенств; xspec — xvar=min_x. .max_x; yspec — yvar=min_y. .max_y; о — необязательные параметры, например указывающие цвета линий, представляющих неравенства или равенства, и областей, образованных этими линиями и границами графика. Пример применения этой функции представлен на рис. 12,33.

Рис. 12.33. Пример графической интерпретации решения системы неравенств

Обратите внимание на задание цветов: optionsfeasible задает цвет внутренней области, для которой удовлетворяются все неравенства (равенства), optionsopen и optionsdosed задают цвета открытых и закрытых границ областей графика, optionsexcluded используется для цвета внешних областей. График дает весьма наглядную интерпретацию действия ряда неравенств (или равенств).

Визуализация теоремы Пифагора

Еще один пример наглядного геометрического представления математических понятий — визуализация известной теоремы Пифагора (рис. 12.42).

В этом примере используется функция построения многоугольников. Наглядность построений усиливается выбором разной цветовой окраски треугольников и квадрата.

Рис. 12.42. Графическая иллюстрация к теореме Пифагора

Визуализация вычисления определенных интегралов

Часто возникает необходимость в геометрическом представлении определенных интегралов в виде алгебраической суммы площадей, ограниченных кривой подынтегральной функции f(x), осью абсцисс х и вертикалями х =а их =b (пределами интегрирования). При этом желательно обеспечение закраски верхней и нижней (отрицательной и положительной) площадей разными цветами, например зеленым для верхней площади и красным для нижней. Как известно, численное значение определенного интеграла есть разность этих площадей.

К сожалению, в Maple 7 нет встроенной функции, явно дающей такое построение. Однако ее несложно создать. На рис. 12.41 представлена процедура a_plot, решающая эту задачу. Параметрами процедуры являются интегрируемая функция/(д:) (заданная как функция пользователя), пределы интегрирования а и b и пределы слева am и справа bm, задающие область построения графика f(x).

Рисунок 12.41 дает прекрасное представление о сущности интегрирования для определенного интеграла. Приведенную на этом рисунке процедуру можно использовать для подготовки Эффектных уроков по интегрированию разных функций.

Рис. 12.41. Графическое представление определенного интеграла

Численное решение дифференциальных уравнений

Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, но требуется получить ответ в виде графических зависимостей.

В таких случаях для решения дифференциальных уравнений в численном виде используется функция dsolve с параметром numeric или type=numeric. При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге—Кутта—Фелберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 13.2.

Рис. 13.2. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом rkf45 с выводом графика решения

Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (или решений). Для графического отображения Maple 7 предлагает ряд возможностей, и одна из них представлена на рис. 13.2 — см. последнюю строку ввода. При этом используется функция plot[odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для визуализации решений дифференциальных уравнений.

В список параметров функции dsolve можно явным образом включить указание на метод решения, например опция mathod=dverk78 задает решение непрерывным методом Рунге—Кутта порядка 7 или 8. Вообще говоря, численное решение дифференциальных уравнений можно производить одним из следующих методов:

 classical — одна из восьми версий классического метода, используемого по умолчанию;  rkf45 — метод Рунге—Кутта 4 или 5 порядка, модифицированный Фелбергом;  dverk78 — непрерывный метод Рунге—Кутта порядка 7 или 8;  gear — одна из двух версий одношагового экстраполяционного метода Гира;  mgear — одна из трех версий многошагового эктраполяционного метода Гира;  lsode — одна из восьми версий Ливенморского решателя жестких дифференциальных уравнений;  taylorseries — метод разложения в ряд Тейлора.

Обилие используемых методов расширяет возможности решения дифференциальных уравнений в численном виде.
Большинство пользователей Maple 7 вполне устроит автоматический выбор метода решения по умолчанию. Однако в сложных случаях возможна прямая установка одного из указанных выше методов. С деталями реализации методов можно ознакомиться по справочной системе.

С помощью параметра ' abserr' =аеrr можно задать величину абсолютной погрешности решения, а с помощью 'minerr'=mine — минимальную величину погрешности. В большинстве случаев эти величины, заданные по умолчанию, оказываются приемлемыми для расчетов.

Maple 7 реализует адаптируемые к ходу решения методы, при которых шаг решения h автоматически меняется, подстраиваясь под условия решения. Так, если прогнозируемая погрешность решения становится больше заданной, шаг решения автоматически уменьшается. Более того, система Maple способна автоматически выбирать наиболее подходящий для решаемой задачи метод решения.

Еще один пример решения системы дифференциальных уравнений представлен на рис. 13.3. Здесь на одном графике представлены зависимости у(х) и z(х), представляющие полное решение заданной системы. При этом процедура имеет особый вид listprocedure и для преобразования списка выходных данных в векторы решения Y и Z используется функция subs.

Для решения достаточно сложных задач полезны специальная структура DESol для решения дифференциальных уравнений и инструментальный пакет DEtools, содержащий самые изысканные средства для графической визуализации результатов решения дифференциальных уравнений. Эти средства мы более подробно рассмотрим в дальнейшем.

Рис. 13.3. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом с выводом всех графиков искомых зависимостей

 ВНИМАНИЕ 

При решении некоторых задач физики и радиоэлектроники выбираемый поумолчанию шаг изменения аргументах или t - Л может привести к неустойчивости решения. Неустойчивости можно избежать рядом способов. Можно, например, нормировать уравнения, избегая необходимости использования малого шага. А можно задать заведомо малый шаг. Например, при method=classical для этого служит параметр stepsize-h.Примеры такого подхода будут даны в уроке 17 (см. Решение физических задач и моделирование цепи на туннельном диоде).

Дифференциальные уравнения с кусочными функциями

Функции кусочного типа широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделирования обычно лежит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение объектов и систем. Покажем возможность применения кусочных функций для решения дифференциальных уравнений. 

Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию:

Используя функцию dsolve, выполним решение этого дифференциального уравнения:

Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменениях. Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией:

В конце этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:

В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:

ПРИМЕЧАНИЕ 

Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эффективному применению функций данного класса.

Функция DEplot из пакета DEtools

Специально для решения и визуализации решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями служит инструментальный пакет DEtools. В него входит ряд функций для построения наиболее сложных и изысканных графиков решения дифференциальных уравнений. Основной из этих функций является функция DEplot. Функция DEplot может записываться в нескольких формах:

DEplot(deqns, vars. trange. eqns)

DEplot(deqns, vans, trange. inits. eqns)

DEplot(deqns. vars. trange, уrange, xrgnge, eqns) .

DEplot(deqns. vars, trange. Inits, xrange. yrange, eqns)

Здесь deqns — список или множество, содержащее систему дифференциальных уравнений первого порядка или одиночное уравнение любого порядка; vars — зависимая переменная или список либо множество зависимых переменных; trange — область изменения независимой переменной t; Inits — начальные условия для решения; yrange — область изменения для первой зависимой переменной, xrange — область изменения для второй зависимой переменной; eqns — опция, записываемая в виде keyword-value. Замена имен переменных другими в данном случае недопустима.

Эта функция обеспечивает численное решение дифференциальных уравнений или их систем при одной независимой переменной t и строит графики решения. Для автономных систем эти графики строятся в виде векторного поля направлений, а для неавтономных систем — только в виде кривых решения. По умолчанию реализуется метод Рунге—Кутта 4-го порядка, что соответствует опции methodiclassical[rk4]. С функцией DEplot могут использоваться следующие параметры:

 arrows = type — тип стрелки векторного поля ('SMALL', 'MEDIUM', 'LARGE', 'LINE' или 'NONE');  colour, color = arrowcolour — цвет стрелок (задается 7 способами);  dirgrid = [integer,integer] — число линий сетки (по умолчанию [20, 20]);  iterations = integer — количество итераций, представленное целым числом;  linесоlor, linecolor = lineinfo — цвет линии (задается 5 способами);  method='rk4' — задает метод решения ('euler', 'backeuler', 'impeuler' или 'rk4');  obsrange = TRUE.FALSE — задает (при TRUE) прерывание вычислений, если кривая решения выходит из области обзора;  scene = [name.name] — задает имена зависимых переменных, для которых строится график;  stepsize = h — шаг решения, по умолчанию равный abs((b-a))/20 и представленный вещественным значением.

На рис. 13.8 показано решение системы диффкренциальных уравнений

x'(t)=x(t)(1-y(t)

y'(t)= 0,3y(t)(x(t)-1), 

описывающих модель Лотки—Вольтерра при заданных в документе изменениях t, x(t) и y(t). Решение представлено в виде векторного поля стрелки которого являются касательными к кривым решения (сами эти кривые не строятся). Обратите внимание на функциональную закраску стрелок векторного поля, делающую решение особенно наглядным (правда, лишь на экране цветного дисплея, а не на страницах книги).

Рис. 13.8. Решение системы дифференциальных уравнений Лотки—Вольтерра , с выводом в виде графика векторного поля

Еще интересней вариант графиков, представленный на рис. 13.9. Здесь помимо векторного поля несколько иного стиля построены фазовые портреты решения с использованием функциональной закраски их линий. Фазовые портреты построены для двух наборов начальных условий: 

x(0) = y(0) = 1,2 и x(0) = 1 и у(0)=0,7.

Следует отметить, что функция DEplot может обращаться к другим функциям пакета DEtools для обеспечения специальных графических возможностей, таких как построение векторного поля или фазового портрета решения.

Рис. 13.9. Пример построения двух фазовых портретов на фоне векторного поля

Функция DEplotSd из пакета DEtools

В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых — например, линий равного уровня или просто в виде кривых в пространстве. Для этого служит функция DEplot3d:

DEplot3d(deqns, vars, trarige, initset, о)

DEplot3d(deqns, vars, trang, yrange, xrange, initset, o)

Назначение параметров этой функции аналогично указанному для функции DEplot.

Рисунок 13.10 поясняет применение функции DEPlqt3d для решения системы из двух дифференциальных уравнений с выводом фазового портрета колебаний в виде параметрически заданной зависимости x(t), y(t). В данном случае фазовый портрет строится на плоскости по типу построения графиков/линий равной высоты.

Другой пример (рис. 13.11) показывает решение системы из двух дифференциальных уравнений с построением объемного фазового портрета. В этом случае используется трехмерная координатная система и графические построения соответствуют параметрическим зависимостям x(t), y(t) и z(t). Вид фазового портрета напоминает разворачивающуюся в пространстве объемную, спираль.

Функциональная окраска делает график пикантным.

Рис. 13.10. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с помощью функции DEptot3d

Возможности функции DEplot3d позволяют решать системы, состоящие более чем из двух дифференциальных уравнений. Однако в этом случае число решений, представляемых графически, выходит за пределы возможного для трехмерной графики. При этом от пользователя зависит, какие из зависимостей опускаются при построении, а какие строятся.

Функция PDEplot пакета DEtools

Еще одна функция пакета DEtools — DEtools[PDEp1ot] — служит для построения графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных.

Эта функция используется в следующем виде:

PDEplotCpdiffeq, van, i_curve, srange, о)

PDEplot(pdiffeq, var, i_curve. srange, xrange, yrange, urange, o)

Рис. 13.11. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений с построением трехмерного фазового портрета

Здесь помимо упоминавшихся ранее параметров используются следующие: pdiffeq — квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка (PDE), vans — независимая переменная и i_curve — начальные условия для параметрических кривых трехмерной поверхности. Помимо опций, указанных для функции DEplot, здесь могут использоваться следующие опции:

 basechar = TRUE, FALSE. ONLY — устанавливает показ базовых характеристик кривых;   basecolor, basecolor = b_color — устанавливает цвет базовых характеристик;   initcolor, initcolor =i_color — инициализация цветов;  numchar = integer — задает число отрезков кривых, которое не должно быть меньше 4 (по умолчанию 20);   numsteps = [integerl.integerZ] — задает число шагов интегрирования (по умолчанию [10, 10]).

 Рисунок 13.12 демонстрирует применение функции PDEplot. Этот пример показывает, насколько необычным может быть решение даже простой системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Рис. 13.12. Пример применения функции PDEplot

В данном случае решение представлено трехмерной фигурой весьма нерегулярного вида.

Другой пример использования функции PDEplot показан на рис. 13.13. Он иллюстрирует комбинированное построение графиков решения разного типа с применением функциональной закраски, реализуемой по заданной формуле с помощью опции initcolor. 

Еще раз отметим, что, к сожалению, рисунки в данной книге не дают представления о цвете выводимого Maple графика. Поэтому наглядность решений, видимых на экране монитора, существенно выше.

Графическая функция dfieldplot

Графическая функция dfieldplot служит для построения поля направления с помощью векторов по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию DEplot и при необходимости вызывается последней. Но она может использоваться и самостоятельно, что демонстрирует рис. 13.14, на котором показан пример решения следующей системы дифференциальных уравнений: 

x'(t) =x(t)(1- y(t)),   

y'(t) = 0,3y(t)(x(t) - 1).

Рис. 13.13. Построение комбинированного графика с помощью функции PDEplot

Обратите внимание на использование опций в этом примере, в частности на вывод надписи на русском языке. В целом список параметров функции phaseportrait аналогичен таковому для функции DEplot (отсутствует лишь задание начальных условий).

Графическая функция phaseportrait

Графическая функция phaseportrait служит для построения фазовых портретов по результатам решения одного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений deqns. Она задается в следующем виде:

phaseportrait(deqns,vars,traf,1n1ts,o)

При задании уравнений достаточно указать их правые части. На рис. 13.15 представлен пример применения функции phaseportrait для решения системы из трех дифференциальных уравнений первого порядка.

В этом примере система дифференциальных уравнений задана с помощью оператора дифференцирования D. Функциональная окраска линии фазового портрета достигается использованием параметра linecolor, в правой части которого задана формула для цвета.

Рис. 13.14. Построение фазового портрета в виде графика векторного поля

Рис. 13.15. Построение фазового портрета с помощью функции phaserportrait

Еще более интересный пример решения дифференциального уравнения представлен на рис. 13.16. Здесь построены фазовые портреты для асимптотических решений.

В целом надо отметить, что возможности визуализации решений дифференциальных уравнений с помощью системы Maple 7 весьма велики и приведенные выше примеры лишь частично иллюстрируют сказанное. В справочной системе можно найти ряд других весьма эффектных решений систем дифференциальных уравнений с визуализацией последних. ,

Рис. 13.16. Построение асимптотического решения на фоне графика векторного поля

Контроль уровня вывода решения ДУ

Для углубленного анализа аналитического решения ДУ (или системы ДУ) можно использовать специальную возможность управления уровнем вывода решения с помощью системной переменной infilevel(dsolve)=level. Значение level =all дает обычный вывод решения без Комментариев, уровень 1 зарезервирован для информации, которую может сообщить пользователь, уровень 2 или 3 дает более детальный вывод (включая сообщения об использованном алгоритме и технике решения) и, наконец, уровни 4 и 5 дают наиболее детальную информацию (если тиковая есть в дополнение к той информации, которую дает уровень 2 или 3). 

Приведем пример .аналитического решения ДУ третьего порядка с контролем уровня вывода решения: 

В данном случае повышение уровня вывода до 4 или 5 бесполезно, поскольку вся информация о решении сообщается уже при уровне 2 (или 3).

Основная функция dsolve

Важное место в математических расчетах занимает решение дифференциальных уравнений. К нему, в частности, обычно относится анализ поведения различных систем во времени (анализ динамики), а также вычисление различных полей (тяготения, электрических зарядов и т. д.). Трудно переоценить роль дифференциальных уравнений в моделировании физических и технических объектов и систем, Maple 7 позволяет решать одиночные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде. Разработчиками системы объявлено о существенном расширении средств решения дифференциальных уравнений и о повышении их надежности в смысле нахождения решений для большинства классов дифференциальных уравнений. Поэтому данный урок целиком посвящен решению уравнений данного класса. Для решения системы простых дифференциальных уравнений (задача Коши) используется функция dsolve в разных формах записи:

dsolve(ODE)

dsolve(ODE, y(x), extra_args)

 dsolve((ODE, ICs}, y(x), extra_args) 

dsolve({sysODE, ICs}, {funcs}, extra_args)

Здесь ODE — одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система из дифференциальных уравнений первого порядка с указанием начальных условий, у(х) — функция одной переменной, Ics — выражение, задающее начальные условия, {sysODE} —множество дифференциальных уравнений, {funcs} —множество неопределенных функций, extra_argument — опция, задающая тип решения. Параметр extra_argument задает класс решаемых уравнений. Отметим основные значения этого параметра:

 exact — аналитическое решение (принято по умолчанию);  explicit — решение в явном виде;  system — решение системы дифференциальных уравнений;  ICs — решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями;  formal series — решение в форме степенного многочлена;  integral transform — решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.;  series — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Order;  numeric — решение в численном виде.

Для решения задачи Коши в параметры dsolve надо включать начальные условия, а при решении краевых задач — краевые условия.
Если Maple способна найти решение при числе начальных или краевых условий меньшего порядка системы, то в решении будут появляться неопределенные константы вида _С1, _С2 и т. д. Они же могут быть при аналитическом решении системы, когда начальные условия не заданы. Если решение найдено в неявном виде, то в нем появится параметр _Т.

По умолчанию функция dsolve автоматически выбирает наиболее подходящий метод решения дифференциальных уравнений. Однако в параметрах функции dsolve в квадратных скобках можно указать предпочтительный метод решения дифференциальных уравнений. Допустимы следующие методы:

quadrature	linear	Bernoulli	separable
inverse linear	homogeneous	Chini	lin_sym
exact	Abel	pot_sym

Информацию о каждом методе можно получить, используя команду Tdsolve, method и указав в ней конкретный метод. Например, команда Tdsolve,linear вызовет появление страницы справочной системы с подробным описанием линейного метода решения дифференциальных уравнений.

Производные при записи дифференциальных уравнений могут задаваться функцией diff или оператором D. Выражение sysODE должно иметь структуру множества и содержать помимо самой системы уравнений их начальные условия.

Основные функции пакета DEtools

Ввиду обилия функций пакета DEtools дать их полное описание в данной книге не представляется возможным. Поэтому выборочно рассмотрим наиболее важные функции этого пакета. Функция:

autonomous(des.vars,ivar)

тестирует дифференциальное уравнение (или систему) des. Ее параметрами помимо des являются независимая переменная ivar и зависимая переменная dvar. Следующие примеры поясняют применение этой функции:

> automou(sin(z(t)-z(t)^2)*(D@@4)(z)(t)-cos(z(t))-5,z.t);

true

> DE:=diff(x(s),s)-x(s)*cos(arctan(x(s)))=arctan(s): 

> autonomous(DE.{x},s);

false

Функция Dchangevar используется для обеспечения замен (подстановок) в дифференциальных уравнениях:

Dchangevar(trans,deqns, c_tvar, rMvar)

Dchangevar(tranl, tran2, .... tranN, deqns, c_ivar, n_ivar)

В первом случае trans — список или множество уравнений, которые подставляются в дифференциальное уравнение, список или множество дифференциальных уравнений deqns. При этом c_ivar — имя текущей переменной, n_ivar — имя новой переменной (его задавать необязательно). Во второй форме для подстановки используются уравнения tranl, tran2, .... Ниже представлены примеры применения функции Dchangevar:

Следует отметить, что подстановки являются мощным средством решения дифференциальных уравнений. Нередки случаи, когда дифференциальное уравнение не решается без их применения. Дополнительные примеры использования подстановок можно найти в справочной базе данных системы Maple 7.

Функция нормализации ОДУ DEnormal синтаксически записывается в виде:

DEnormal(des,ivar,dvar)

где des — система дифференциальных уравнений, 1var — независимая переменная и dvar — зависимая переменная. Применение этой функции поясняют следующие примеры:

Функция convertAlg(des,dvar) возвращает список коэффициентов формы системы дифференциальных уравнений des с зависимыми переменными dvar. Это поясняют следующие примеры:

Для изменения переменных в системах дифференциальных уравнений используется функция convertsys:

convertsys(deqns, inits, vars, ivar, yvec, ypvec)

Здесь deqns — одно дифференциальное уравнение или список (множество), представляющие систему дифференциальных уравнений первого порядка, inits — множество или список начальных условий, vans — зависимые переменные, ivar — независимые переменные, yvec — вектор решений и ypvec — вектор производных. Функция:

indicialeq(des.ivar,alpha.dvar)

обеспечивает полиномиальное представление для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка des. Параметр alpha намечает точку сингулярности.

Функция:

reduceOrder(des.dvar,partsol, solutionForm)

обеспечивает понижение порядка дифференциального уравнения des (или системы уравнений, представленных списком или множеством) при зависимых переменных dvar, частном решении partsol (или списке частных решений) и флаге solutionForm, показывающем, что решение происходит явным методом (explicitly). Для демонстрации действия этой функции воспользуемся примером из ее справочной страницы:

Функция:

regularsp(des,ivar,dvar)

вычисляет регулярные особые (сингулярные) точки для дифференциального уравнения второго порядка или системы дифференциальных уравнений des. Следующий пример поясняет применение данной функции:

> coefs := [21*(х^2 - х + 1),0,100*х^2*(х-1)^2]:

 > regularsp(coefs. х);

[0,1]

Еще две функции пакета DEtools:

translate(des,ivar.pt,dvar) 

untranslate(des,ivar,pt,dvar)

выполняют особую операцию трансляции дифференциального уравнения (или списка дифференциальных уравнений) из центрированного относительно 0 в центрированное относительно 1 и наоборот. С деталями этого специфического процесса заинтересованный читатель может познакомиться в справочной базе данных. И еще одна полезная функция пакета: 

varparam(sols.v.ivar) 

находит общее решение дифференциального уравнения (или системы уравнений) sols методом вариации параметров. Параметр v задает правую часть уравнения; если он равен 0, ищется только частичное решение:

Более подробную информацию об этих функциях читатель найдет в их справочных страницах, а также в информационном документе detdols.mws содержащем систематизированное описание пакета DEtools с многочисленными примерами его применения.

Приближенное полиномиальное решение ДУ

Во многих случаях аналитические решения даже простых ДУ оказываются весьма сложными, например содержат специальные математические функции. При этом нередко полезна подмена такого решения другим, тоже аналитическим, но приближенным решением. Наиболее распространенным приближенным решением в этом случае может быть полиномиальное решение, то есть замена реального решения полиномом той или иной степени. При этом порядок полинома задается значением системной переменной Order, а для получения такого решения функция dsolve должна иметь параметр series.

На рис. 13.17 представлено решение ДУ третьего порядка различными методами: точное аналитическое и приближенное в виде полинома с максимальным заданным порядком 10 и 60. График дает сравнение этих решений для зависимости y(t).

Дадим небольшой комментарий. Нетрудно заметить, что точное аналитическое решение весьма сложно и содержит специальные функции Бесселя и гамма- функции. При порядке полинома 8 (он несколько меньше заданного максимального) решение практически совпадает с точным до значений t < 2, а при максимальном заданном порядке 60 область совпадения расширяется до значений t < 5,5. Затем приближенное решение резко отходит от точного.

Этот пример, с одной стороны, иллюстрирует хорошо известный факт — быстрое нарастание погрешности полиномиального приближения за пределами области хорошего совпадения решений. С другой стороны, он показывает, что степень полинома более 60 (и даже выше) вовсе не так уж бесполезна, как это утверждается во многих статьях и книгах по полиномиальному приближению. Точность полиномиальных вычислений Maple 7 достаточно высока, чтобы обеспечить получение приближенных полиномиальных выражений со степенью порядка десятков и иногда даже сотен. Другое дело, что столь «длинный» полином не всегда удобен для аналитических расчетов, даже несмотря на его структурную простоту.

Рис. 13.17. Примеры решения ДУ третьего порядка

Применение функции odeplot пакета plots

Для обычного графического представления результатов решения дифференциальных уравнений может использоваться функция odeplot из описанного выше пакета plots. Эта функция используется в следующем виде:

odep1ot(s,vars.r,o) 

где s — запись (в выходной фирме) дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, решаемых численно функцией dsolve, vars — переменные, г — параметр, задающий пределы решения (например, а. .Ь), и о — необязательные дополнительные опции.

На рис. 13.5 представлен пример решения одиночного дифференциального уравнения с выводом решения у(х) с помощью функции odeplot.

В этом примере решается дифференциальное уравнение:

y'(x)=cos(x2y(x))

при у(0) = 2 и x, меняющемся от-5 до 5. Левая часть уравнения записана с помощью функции вычисления производной diff. Результатом построения является график решения у(х). 

В другом примере (рис. 13.6) представлено решение системы из двух нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь с помощью функции odeplot строятся графики двух функций. —у(х) и z(x).

В этом примере решается система:

у'(х)=z(х),

z'(x) = 3 sin(y(x))

при начальных условиях y(0)=0, z(0) = 1 их, меняющемся от -4 до 4 при числе точек решения, равном 25.

Иногда решение системы из двух дифференциальных уравнений (или одного дифференциального уравнения второго порядка) представляется в виде фазового портрета — при этом по осям графика откладываются значения у(х) и z(х) при изменении х в определенных пределах. Рисунок 13.7 демонстрирует построение фазового портрета для системы, представленной выше.

Обычное решение, как правило, более наглядно, чем фазовый портрет решения. Однако для специалистов (например, в теории колебаний) фазовый портрет порою дает больше информации, чем обычное решение. Он более трудоемок; для построения, поэтому возможность Марle 7 быстро строить фазовые портреты трудно переоценить.

Рис. 13.5. Пример решения одиночного дифференциального уравнения

Рис. 13.6. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнений

Рис. 13.7. Представление решения системы дифференциальных уравнений в виде фазового портрета

Проверка ДУ на автономность

Одиночное дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений называются автономными, если их правая часть явно не зависит от независимой переменной. Для автономных дифференциальных уравнений или систем при построении графиков решений функцией DEplot не обязательно задавать начальные условия, но нужно указывать диапазон изменения искомых переменных.

Для проверки уравнений (или систем) на автономность используется функция:

autonomous(des,vars,ivar)

где des — заданное дифференциальное уравнение или (в виде списка) система дифференциальных уравнений, vars — зависимые переменные; ivar — независимая переменная. Если система автономна, то эта функция возвращает true, в противном случае false.

Примеры:

В первом случае система дифференциальных уравнений (модель. Лотки-Воль-терра) автономна, а во втором случае дифференциальное уравнение не автономно.

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Здесь видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff. С помощью символа $ можно задать производную более высокого порядка. Ниже представлено решение двух дифференциальных уравнений второго порядка:

 

Обратите внимание на решение второго из этих уравнений. Здесь использован прием визуализации исходного дифференциального уравнения, и оно задается значением переменной de. Кроме того, и это особенно важно, решение осуществляется при заданных начальных условиях. Именно поэтому в решении отсутствуют произвольные постоянные вида _СN.

Решение ОДУ первого порядка

Начнем рассмотрение практических примеров с решения одиночных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка:

Следующие примеры иллюстрируют возможность решения одного и того же дифференциального уравнения ode_L разными методами:

Объем данной книги не позволяет остановиться на всех тонкостях аналитического решения дифференциальных уравнений. Множество примеров такого решения дано в справочной базе данных Maple,. 7- К ней нужно обратиться в случае, если решение того или иного дифференциального уравнения выходит за рамки учебного курса.

Решение систем дифференциальных уравнений

На рис. 13.1 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа. 

Рис. 13.1. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами

Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple 7 в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде.

Средства пакета DEtools

Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple 7. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями:

> with(DEtools);

Warning, the name adjoint has been redefined

[DEnormal, DEplot, DEplot3d, DEplot_pofygon, DFactor, DFactorLCLM, DFactorsols, Dchangevar, GCRD, LCLM, PDEchangecoords, RiemannPsols, Xchange, Xcommutator, Xgauge, abelsoL, adjoint, autonomous, bernoullisol, buildsol, buildsym, canoni, caseplqt, casesplit, checkrank, chinisol, clairautsol, constcoeffsols, convertAlg, convertsys, dalembertsol, dcoeffs, de2diffop, dfieldplot, diffop2de, dsubs, eigenring, endomorphism_charpoly, equinv, etajc, eulersols, exactsol, expsols, exterior'_power,firint,firtest, formal_sol, gen_exp, generate_ic, genhomosol, gensys, hamilton_eqs, indicialeq, infgen, initialdata, integrate_sols, intfactor, Invariants, kovacicsols, leftdivision, liesol, line_int, linearsol, matrixDE, matrix_riccati, moserjreduce, muchange, mult, mutest, newtonjpolygon, normalG2, odeadvisor, odepde, parametricsol, phaseportrait, poincare, polysols, ratsols, redode, reduceOrder, reduce_order, regular_parts, regularsp, remove_RootOf, riccati_system, riccatisol, rifsimp, rightdivision, rtaylor, separablesol, solvejgroup, super_reduce, symgen, symmetric_po\ver, symmetric^product, symtest, transinv, translate, untranslate, varparam, zoom]

Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними. По сравнению с версией Maple V R5 число функций данного пакета в Maple 7 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета DEtools были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть в реализациях R5, 6 и 7 системы Maple:

 DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений;  DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений;   DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений;   Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях;  PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных;   PDEpTot — построение графиков решения дйффереациальых уравнений в частных производных;  autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность;  convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений;  convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений;  dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля;  indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные;  phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета;  reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений;  regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка;  translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов;  untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения;  varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.

Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Maple R5, 6 и 7.

Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol

В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно. Для неявного их представления в Maple 7 введена специальная структура:

DESol(expr.vars)

где exprs — выражение для исходной системы дифференциальных уравнений, vars — заданный в виде опции список переменных (или одна переменная). Структура DESol образует некоторый объект, дающий представление о дифференциальных уравнениях, чем-то напоминающее RootOf. С этим объектом можно обращаться, как с функцией, то есть его можно интегрировать, дифференцировать, получать разложение в ряд и вычислять численными методами. На рис. 13.4 показаны примеры применения структуры DESol. Обратите внимание на последний пример — в нем структура- DESol использована для получения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

Рис. 13.4. Примеры применения структуры DESol

Задачи углубленного анализа ДУ

Maple 7 существенно доработана по части решения дифференциальных уравнений (ДУ) и систем с ДУ. Эта доработка прежде всего направлена на получение верных решений как можно большего числа ДУ разных классов и систем с ДУ.

В частности, расширен круг нелинейных дифференциальных уравнений, для которых Maple7способна дать аналитические решения.

Весь арсенал средств решения ДУ-и методика их применения вполне заслуживают отражения в отдельной большой книге. Мы ограничимся описанием только трех средств системы Maple 7 - проверки ДУ на автономность, углубленным анализом решения с помощью контроля уровня выхода и получением приближенного полиномиального аналитического решения. Более подробное знакомство с новыми возможностями решения дифференциальных уравнений можно получить из соответствующей статьи справки symbolics в разделе What is new.

---

---