Другие функции пакета
Отметим назначение других функций пакета numapprox:
chebdeg(p) — возвращает степень полинома Чебышева р; chebmult(p, q) — умножение полиномов Чебышева р и q; chebsort(e) — сортирует элементы ряда Чебышева; confracform(r) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь; confracform(r, х) — преобразует рациональное выражение г в цепную дробь с независимой переменной х; hornerform(r) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера; hornerform(r, х) — преобразует рациональное выражение г в форму Горнера с независимой переменной х; infnorm(f, x=a...b, 'xmax') — возвращает L-бесконечную норму функции на отрезкех [а, b]; infnorm(f, a...b, 'xmax') — возвращает L-бесконечную норму функции на отрезке [а, b].Действие этих функций очевидно, и читатель может самостоятельно опробовать их в работе.
Функции для работы с полиномами
Рассмотрим несколько функций пакета PolynomialTools общего характера. Примеры применения этой функции представлены ниже:
ПРИМЕЧАНИЕ
Функция IsSelfReciprocat(a, х, 'р') проверяет полином а(х) на условие coeff(a,x,k) =coeff(a,x,d-k) для всех k = 0. .d, где d = degree(a; х) — порядок полинома. Если это условие выполняется, то возвращается логическое значение true, иначе — false. Если порядок d четный и если задан третий аргумент р, то р будет представлять полином Р порядка d/2, такой, что x^(1/2)*P(x+l/x) = а. При нечетном d полином а будет взаимообратным, что подразумевает деление на х+1. В этом случае; если р указано, результат вычисляется в форме а/(х+1).
Функция MinimalPolynomial (r, n, асе) возвращает полином минимальной степени не превышающей n, имеющий корень г. Необязательный аргумент асе задает погрешность приближения. Функция MinimalPolynomia(r, n) использует решетчатый алгоритм и находит полином степени п (или менее) с наименьшими целыми коэффициентами. Корень г может быть действительным или комплексным. Результат зависит от значения переменной окружения Digits. По умолчанию асе задано как 10*(Digits-2). Примеры применения данной функции:
Функция Split(a, х, b) служит для расщепления полинома а с независимой переменной х. Параметр b — необязательный. Функция Split(a, х) осуществляет комплексную факторизацию инвариантного полинома а по х. Если третий аргумент b задан, он представляет множество элементов {tl,... ,tm}, таких что полином а расщепляется над K=Q(tl,... ,tm), где Q означает поле рациональных чисел. Примеры:
В пакете определена еще одна подобная функция Splits, с которой можно познакомиться по справке на нее.
Функция Translate(a, х, х0) преобразует полином а(х) с подстановкой х - х + х0, где x0 — константа. Примеры применения этой функции даны ниже:
Функции преобразования полиномов в РDЕ и обратно
Функция PolynomialToPDE(polys, vars, depvars) преобразует полиномы polys пo независимым переменным vans в дифференциальные уравнения с частными производными (PDE). Другая функция PDEToPolynomia(pdes, vans, depvars) осуществляет обратное преобразование.
Следующие примеры иллюстрируют применение этих функций:
Функции сортировки полиномов
Для сортировки полиномов предназначены следующие три функции:
Shorter(f, g, х)
Sort(v, х)
Shorten(f, x)
Здесь f и g полиномы, v — список полиномов их — независимая переменная. Функции отличаются характером сортировки.
Функция Shorter определяет полином f как более короткий, чем g, по следующим признакам: меньшая длина, меньшее имя независимой переменной х, не дробный и меньшая степень других переменных. Функция Sort сортирует лист полиномов х по признакам, определяемым Shorter. Функция Shorten использует преобразования Мебиуса. Многочисленные детали ее применения можно найти в справке по данной функции. Примеры применения функций сортировки:
Функция addtable
Как видно из приведенных примеров, не всегда интегральные преобразования дают результат в явном виде. Получить его позволяет вспомогательная функция:
addtable(tname,patt,ехрr,t,s)
где tname — наименование преобразования, для которого образец patt должен быть добавлен к таблице поиска. Остальные параметры очевидны.
Следующие примеры поясняют применение этой функции:
Функция аппроксимации непрерывными дробями ThieleInterpolation
Функция ThieleInterpolation осуществляет интерполяцию на основе непрерывных дробей (Thiele's-интерполяцию). Она задается в виде:
Thielelnterpolation (xydata, v)
Thielelnterpolation(xdata, ydata, v)
Примеры применения данной функции представлены ниже:
Функция полиномиальной аппроксимации PolynomialInterpolation
Функция PolynomialInterpolation реализует полиномиальную интерполяцию и может использоваться в виде:
Polynomiallnterpolation (xydata, v)
Polynomiallnterpolation(xdata, ydata, v)
Параметры функции были определены выше. Параметр v может быть как именем, так и численным значением. Примеры применения функции представлены ниже:
Функция построения В-сплайновых кривых BsplineCurve
Функция BsplineCurve служит для построения кривых в B-cплайнов. Она Может использоваться в формах:
BSpl1neCurve(xydata, v, opts)
BSpllneCurve (xdata, ydata, v, opts)
Здесь:
xydata — список, массив или матрица точек в форме [[xl.ylj, [х2,у2],..., [хn,уn]];
xdata — список, массив или вектор значений независимой переменной [xl,x2,... ,хn];
ydata — список, массив или вектор значений зависимой переменной в форме [у1,у2,...,уn];
v — имя независимой переменной;
opts — необязательный параметр в форме одного или более выражений вида order=k или knots=knot1ist.
Примеры применения функции BSplineCurve с порядком, заданным по умолчанию, и с третьим порядком (кубический В-сплайн) представлены на рис. 14.6.
Рис. 14.6. Применение функции BSplineCurve
Следует отметить, что при малом, числе точек аппроксимация В-сплайнами дает невысокую точность, что и видно из рис. 14.6
Функция рациональной аппроксимации RacionalInterpolation
Функция рациональной интерполяции задается в Виде:
Rational Interpolation (xydata, z, opts)
RationalInterpolation(xdata, ydata, z, opts)
где необязательный параметр opts задается выражениями methochmethodtype или degrees=[dl,d2]. Функция возвращает результат в виде отношения двух полиномов. Параметр methodtype может иметь значения 4lookaround или subresultant, задающие учет или пропуск сингулярных точек.
Пример применения функции Rational Interpolation (загрузка пакета опущена, но предполагается):
Функция реализации метода наименьших квадратов LeastSquares
Функция LeastSquares служит для реализации аппроксимации по методу наименьших квадратов:
LeastSquares (xydata, v, opts)
LeastSquares(xdata, ydata, v.,opts)
Все входящие в нее параметры были определены выше (см. параметры функции BSplineCurve). Параметр opts задается в форме выражений weight=wlist, curve=f или params=pset.
Следующие примеры иллюстрируют применение функции LeastSquares:
Функция вычисления обычных сплайнов Spline
Функция:
Spline(xydata, v, opts)
Spline(xdata, ydata, v, opts)
вычисляет обычные (не В-типа) сплайны. Примеры ее применения даны ниже:
Функция вычисления В-сплайнов Bspline
Функция BSpline(k, v, opt) служит для вычисления В-сплайнов. Она имеет следующие параметры: k — порядок сплайна (целое число), v— имя и opt — параметр в виде knots=knotlist, где knotlist — спискок из k+1 элементов алгебраического типа. Используя функцию CurveFitting[BSplineCurve], можно строить кривые В-сплайнов. Примеры применения этой функции представлены ниже:
Как нетрудно заметить из этих примеров, функция Bspline возвращает результат в виде кусочных функций типа piecewise.
Интегральное преобразование Ханкеля
Интегральное преобразование Ханкеля задается следующим выражением:
и выполняется функцией:
hankel(expr, t, s, nu)
Здесь ехрr — выражение, равенство (или множество, или список с выражениями/равенствами), t — переменная в ехрr, преобразуемая в параметр преобразования s, nu— порядок преобразования. Следующий пример демонстрирует применение функции Ханкеля:
Интегральное преобразование Меллина
Интегральное преобразование Меллина задается выражением:
и реализуется функцией:
mellin(expr, х, s)
с очевидными параметрами ехрr, х и s.
Применение преобразования Меллина иллюстрируют следующие примеры:
Наилучшая минимаксная аппроксимация
Минимаксная аппроксимация отличается от Паде-аппроксимации минимизацией максимальной абсолютной погрешности во всем интервале аппроксимации. Она использует алгоритм Ремеза (см. ниже) и реализуется следующей функцией:
mimmax(f, x=a..b, [m.n], w, 'maxerror')
minimax(f, a..b, [m,n], w, 'maxerror')
Здесь помимо уже отмеченных параметров w — процедура или выражение, maxerror — переменная, которой приписывается значение miniraax-нормы. Ниже дан пример аппроксимации функции cos(x) в интервале [-3, 3]:
Наилучшая минимаксная аппроксимация по алгоритму Ремеза
Для получения наилучшей полиномиальной аппроксимации используется алгоритм Ремеза, который реализует следующая функция:
remez(w, f, a, b, m, n,_crit, 'maxerror')
Здесь w — процедура, представляющая функцию w(x) > 0 в интервале [a, b], f — процедура, представляющая аппроксимируемую функцию а и b — числа,' задающие интервал аппроксимации fa,b], m и n — степени числителя и знаменателя аппроксимирующей функции, crit — массив, индексированный от 1 до m + n + 2 и представляющий набор оценок в критических точках (то есть точек максимума/минимума кривых погрешности), mахеrrоr — имя переменной, которой присваивается минимаксная норма w abs(f -r).
Следующий пример иллюстрирует применение данной функции для аппроксимации функции erf(x):
Назначение пакетов расширения и обращение к ним
Как уже отмечалось, некоторые функции системы Maple помимо их нахождения в ядре могут быть расположены в стандартной библиотеке и в пакетах, входящих в поставку системы. Это значит, что их не надо приобретать дополнительно, однако перед использованием таких функций надо загрузить их или отдельно, или вместе с целым пакетом, если большинство его функций представляет интерес для пользователя.
 |
 |
Из этих пакетов надо особо
Система Maple 7 пополнилась рядом новых пакетов:
CurveFutting — приближение кривых; ExternalCalling — внешние вычисления; LinearFunctionalSystem — линейные функциональные системы; MathML — поддержка средств языка MathML 2.0; OrthogonalSeries — серии с ортогональными полиномами; PolynomialTools — работа с полиномами. Из этих пакетов надо особо выделить пакет приближения кривых. Он содержит наиболее важные функции для приближения кривых, которые до сих пор были разбросаны по ряду пакетов. В конце данного урока содержится описание пакета CurveFitting. Там же имеется описание другого нового и полезного пакета — PolynomialTools.
 |
|
|
Общая характеристика пакета
Это один из пакетов, наиболее важных для общематематических и научно-технических приложений. Он содержит небольшой набор функций:
> with(inttrans):
[addtable,fourier,fouriercos,fouriersin, hankel, hilbert, invfourier, invhilbert, invldplace, invmellin, laplace, mellin, savetable]
Однако эти функции охватывают такие практические важные области математики, как ряды Фурье, прямые и обратные преобразования Лапласа и Фурье и ряд других интегральных преобразований. Ниже они обсуждены более подробно.
В предшествующих реализациях системы Maple функции прямого и обратного Z-преобразований также входили в пакет inttrans, однако в Maple 6 и 7 они перенесены в ядро системы.
Общая характеристика пакета CurveFitting
Новый пакет приближения кривых CurveFitting весьма полезен тем, кто занимается столь распространенной задачей, как приближение кривых. Он содержит ряд функций:
> with(CurveFitting);
Доступ к функциям пакета возможен с помощью конструкций:
CurveFitting[function](arguments)
function(arguments)
Число функций пакета невелико и все они описаны ниже.
Обзор пакетов
В этом уроке дается выборочная информация о функциях, содержащихся в пакетах. Напоминаем, что список пакетов можно получить, используя команду:
>?packages
Этот список приведен ниже:
DEtools — решение дифференциальных уравнений; Domains — создание областей определений в вычислениях; GF — поля Галуа; Gausslnt — работа с целыми числами Гаусса; Groebner — вычисления в базисе Гробнера; LREtools — манипуляции с линейными рекуррентными отношениями; LinearAlgebra — линейная алгебра; Matlab — интеграция с MATLAB; Ore_algebra — основные вычисления в алгебре линейных операторов; PDEtools — решение дифференциальных уравнений в частных производных; Spread — работа с таблицами; algcurves — работа с алгебраическими кривыми; codegen — генерация кодов; combinat — функции комбинаторики; combstruct — структуры комбинаторики; context — контекстно-зависимые меню; diffalg — дифференциальная алгебра; difforms — дифференциальные формы; finance — финансовые расчеты; genfunc — рациональные функции; geom3d — трехмерная геометрия Евклида; geometry — евклидова геометрия; group — представление бесконечных групп; inttrans — интегральные преобразования; liesymm — симметрия Ли; linalg — линейная алгебра и структуры данных массивов; networks — графы; numapprox — численная аппроксимация; numtheory — теория чисел; orthopoly — ортогональные полиномы; padic — Пи-адические числа; plots — расширения графики; plottools — создание дополнительных графических объектов; > polytools — действия с полиномами; powseries — формальные степенные ряды; process — мультипроцессы (для операционной системы Unix); simplex — линейная оптимизация (симплекс-метод); ' stats — статистика; student — функции в помощь студентам; sumtools — определенные и неопределенные суммы; tensor — тензоры и теория относительности.Как следует из просмотра этого обширного списка, пакеты Maple 7 охватывают многие крупные разделы математики и существенно дополняют возможности системы, предоставляемые средствами ее ядра. Пакеты расширения пишутся на Maple-языке программирования, поэтому они могут легко модернизироваться и пополняться. Этим, в частности, объясняется тот факт, что набор пакетов расширения в Maple 7 существенно пополнен по сравнению с предшествующими реализациями системы.
Обзор возможностей пакета PolynomialTools
Пакет для работы с полиномами PolynomialTools предназначен для выполнения ряда специальных операций с полиномами или создания полиномов с заданными свойствами. Этот пакет имеет небольшое число функций:
> with(PolynomialTools):
[IsSelfReciprocal, MinimalPolynomial, PDEToPolynomial, PolynomialToPDE, Shorten, Shorter, Sort, Split, Splits, Translate]
В пакет входят функции расщепления, сортировки и преобразования полиномов (в том числе в дифференциальные уравнения и наоборот) и др.
Паде-аппроксимация аналитических функций
Для аппроксимации аналитических функций одной из лучших является Паде-аппроксимация, при которой заданная функция приближается отношением двух полиномов. Для осуществления такой аппроксимации используется функция pade:
pade(f. x=a, [m.n])
pade(f.,х, [m.n])
Здесь f — аналитическое выражение или функция, х — переменная, относительно которой записывается аппроксимирующая функция, а — координата точки, относительно которой выполняется аппроксимация, m, n — максимальные степени полиномов числителя и знаменателя. Технику аппроксимации Паде поясняет рис. 14.4.
На рис. 14.4 представлена аппроксимация синусоидальной функции, а также построены графики этой функции и аппроксимирующей функции. Под ними дан также график абсолютной погрешности для этого вида аппроксимации. Нетрудно заметить, что уже в интервале [-л, я] погрешность резко возрастает на концах интервала аппроксимации.
Важным достоинством Паде-аппроксимации является возможность довольно точного приближения разрывных функций. Это связано с тем, что нули знаменателя у аппроксимирующего выражения способны приближать разрывы функций, если на заданном интервале аппроксимации число разрывов конечно. На рис. 14.5 представлен пример Паде-аппроксимации функции tan(x) в интервале от -4,5 до 4,5, включающем два разрыва функции.
Как видно из рис. 14.5, расхождение между функцией тангенса и ее аппроксимирующей функцией едва заметно лишь на краях интервала аппроксимации. Оба разрыва прекрасно приближаются аппроксимирующей функцией. Такой характер аппроксимации подтверждается и графиком погрешности, которая лишь на концах интервала аппроксимации [-4,0, 4,0] достигает значений 0,01 (около 1%).
Рис. 14.4. Аппроксимация Паде для синусоидальной функции
Рис. 14.5. Аппроксимация Паде для разрывной функции тангенса
Паде-аппроксимация с полиномами Чебышева
Для многих аналитических зависимостей хорошие результаты дает аппроксимация полиномами Чебышева. В общем случае применяется Паде-аппроксимация отношением таких полиномов. Она реализуется функциями chebpade:
chebpade(f, x=a..b, [m.n])
chebpade(f., x, [m.n])
chebpade(f, a..b, [m,n])
Здесь а..b задает отрезок аппроксимации, тип— максимальные степени числителя и знаменателя полиномов Чебышева. Приведенный ниже пример показывает аппроксимацию Паде полиномами Чебышева для функции f=cos(x):
Пакет combinat
Функции комбинаторики достаточно известны из обычного курса математики. При вызове пакета выводится (если вывод не заблокирован двоеточием) список его функций:
> with(combinat);
Warning, the protected name Chi has been redefined and unprotected
[Chi,bell, binomialcartprod, character, choose, composition, conjpart, decodepart, encodepart,fibonacci,firstpart, graycode, inttovec, lastpart, multinomial, nextpart, numbcomb, numbcomp, numbpart, numbperm, partition, permute, powerset, prevpart, randcomb, randpart, randperm, Stirling], stirling2, subsets, vectoint]
Ввиду важности функций комбинаторики приведем их полные определения:
Chi(x) — гиперболический косинусный интеграл; bell(n) —возвращает число ехр(ехр(х)-1) =sum(ben(n)/n!*x^n, n=0..infinity), причем для вычислении используется рекуррентное соотношение bell(n+1) = (bell(n)+1)^n; binomial (n, r) — возвращает биноминальные коэффициенты, причем, если n и r — целые числа, удовлетворяющие условию 0 <= r<= n, то функция возвращает C(n.r)=n!/(r!(n-r)!), а в общем случае С(n, r) = limit(GAMMA(N+D/ GAMMA(R+l)/GAMMA(N-R-t-l),R=r,N=n); composition(n, k) — возвращает списки композиций для целых неотрицательных n и k; fibonacci(n) — возвращает числа Фибоначчи, вычисляемые по рекуррентной формуле F(n) =F(n - 1) +F(n - 2), где F(0) =0 и F(1) =1; fibonacci(n, х) — возвращает значение полинома Фибоначчи F(n, x) =-х F(n - 1,x) + F(n - 2, х), где F(0,x) = 0 и F(l,x) = 1, при этом F(n) = F(n, 1); firstpart(n) — возвращает первую часть каноническей последовательности ряда; nextpart(l) — возвращает следующую часть канонической последовательности ряда; lastpart(n) — возвращает последнюю часть канонической последовательности ряда; prevpart(1) — возвращает предыдущую часть канонической последовательности ряда; conjpart(l) — возвращает объединенный раздел в канонической последовательности ряда; graycode(n) — возвращает список кодов Грея для габитовых чисел; multinomial (n, kl, k2, ....km) — возвращает мультиномиальные коэффициенты; numbcomb(n) и numbcomb(n. m) — возвращает число комбинаций; numbcomp(n, k) — возвращает число композиций; numbpart(n) — возвращает список всех возможных сумм, дающих п; permute(n) и permute(n, r) — возвращает numbperm(n, r) = nops(permute(n. r)); powerset(s) — возвращает степень множества в множестве s; randcomb(n, m) — возвращает случайную комбинацию; randpart(n) — возвращает случайную часть; randperm(n) — возвращает случайную композицию; stirling(n, m) — возвращает число Стирлинга первого рода; stirling2(n, m) — возвращает число Стирлинга второго рода; subsets(L) — задает итерационную процедуру над степенями множества или списка L; vectoint(l) — возвращает индекс вектора канонического упорядочения 1; inttovec(m, n) — возвращает вектор канонического упорядочения для неотрицательных целых чисел тип. Ниже даны примеры применения некоторых из этих функций:
> choose(4,3);
[[1,2,3],[1,2,4],[1,3,4],[2,3,4]]
> choose([a,a,b,c].3):
[[a,a,b],[a,a,c],[atb,c]]
> composition(3,2):
{[2,1],[1,2]}
> decodepart(4,2);
[1,1,2]
> fibonacci(l0);
55
> seq(fibonacci(1),i-l..l2):
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
> partition(5);
[[1,1,1,1,1], [1,1,1,2], [1,2,2], [1,1,3], [2,3], [1,4], [5]]
> firstpart(3):
[1,1,1]
> nextpart(%);
[1,2]
> prevpart(%);
[1,1,1]
> 1astpart(3):
[3]
> conjpart(%):
[1,1,1]
> multinomial(8,2,3,3);
560
> numbcomp(8,5):
35
> nuropart(3);
numpart(3)
> numbperm(4);
24
> numbperm([a,b]):
2
> numbperm({a,b,c},2);
6
> permute(3,2);
[[l,-2],[l,3],[2,l],[2,3],[3,l],[3,2]]
> permute([a,a,b],2):
[[a,a],[a,b],(b,a]]
> powerset([a,a,b]):
[[],[а],[b],[а,Ь],[а,а],[а,а,b-]]
> randcomb([a,b,c,d],3):
[a,c,d]
> randcomb([a,b,c,d],3);
[a,b,d]
> randpart(l0);
[2,8]
> randpart(l0):
[10]
> stirling(10,5);
-269325
> stirling2(10,5):
42525
> S:=subsets({l,2}):
> while not S[finished] do S[nextva1ue]() od:
{ }
{1}
{2}
{1,2}
> vectoint([l,0,0]);
1
> inttovec(6,3);
[1,0,1]
Читателю, желающему использовать данный пакет, рекомендуется внимательно ознакомиться с этими простыми примерами и просмотреть примеры из справочной базы данных для имеющихся в пакете функций.
|
|
|
Пакет combstruct
Еще девять функций, относящихся к структурам комбинаторики, содержит пакет combstruct:
> with(combstruct):
[allstructs, count, draw,finished, gfeqns, gfseries, gfsolve, iterstritcts, nextstruct]
Эти функции служат для создания случайно однородных объектов, принадлежащих заданному комбинаторному классу. Ограничимся приведением примеров применения этих функций:
> alltructs(Subset({one,two}));
{{ },{one, two}, {two}, {one}}
> anstructs(Permutation([x,y,z]),size=2):
[[x,y],[x,z],[y,x],[y,z],[z,x],[z,y]]
> count(Subset({l,2,3}));
8
> draw(Combiination(5),size=4);
{1,3,4,5}
> count(Permutation([a,a,b])): .
3
> 1t :=iterstructs(Permutation([a,a,b]),size=2);
it := table([finished = false, nextvalue = (pmc() ... endproc )])
> draw(Partition(9));
[2,2,2,3]
> allstructs(Composition(3), size=2):
[[2,l],[l,2]]
Для более полного знакомства с этими специфическими функциями обратитесь к справочной системе.
Пакет финансово-экономических функций finance
Пакет финансово-экономических расчетов открывается командой:
> with(finance)
[amortization, annuity, blackscholes, cashflows, effectiverate,futurevalue, growingannuity, growingperpetuity, levelcoupon, perpetuity, presentvalue, yieldtomaturity]
Этот пакет представлен рядом указанных выше функций в двух формах:
function(args)
finance[function](args).
Благодаря правилам задания аргументов можно реализовать практически все известные финансово-экономические расчеты, такие как амортизация, накопления и платежи по вкладам и т. д. В свете задач рыночной экономики эти функции полезны для приверженцев решения всего на свете без выхода из оболочки Maple. Все же надо отметить, что малозаметные тонкости в определении финансово-экономических функций затрудняют их применение. Есть множество специальных финансово-экономических пакетов, например «Бухгалтерия 1C», которые лучше подходят для наших экономических реалий, чем «заумный» и прозападный Maple 7.
Полный перечень функций можно найти в справке по этому пакету. Ограничимся упоминанием нескольких наиболее характерных функций, связанных с использованием вкладов:
annuity(cash,rate,nperiods) — вычисление суммы, находящейся на вкладе с начальным значением cash, процентом начисления rate и числом периодов nperiods; cashflows(flows,rate) — вычисление общей суммы вклада по списку вложений flows и проценту обесценивания денег rate; futurevalue(amount, rate, nperiods) — вычисление будущего значения вклада при начальном вложении amount, проценте начисления rate и числе периодов nperiods; presentvalue(amount, rate, nperiods) — вычисление начального вклада для получения суммы в amount при проценте начислений rate и числе вкладов nperiods.Примеры применения этих функций даны ниже:
Поскольку формулы и обозначения в финансово-экономических расчетах в различной литературе порою заметно различаются (особенно сильны различия между нашей и западной литературой), это может создать серьезные ошибки при вычислениях.
К примеру, в формулах Maple на самом деле используются не проценты начислений или обесценивания вкладов, а соответствующие им относительные единицы, например 10% соответствует 0,1.. В нашей литературе проценты обычно задаются в явном виде, то есть rate = 10 при 10%. Надо следить и за знаком величины rate, поскольку она может трактоваться как процент начислений или процент обесценивания денег по вкладам, что соответствует различным ее знакам.
Расчеты такого рода для Maple 7 относятся к достаточно простым, так что даже начинающий пользователь может составить свои функции для таких расчетов по вполне понятным ему и апробированным формулам. Надо отметить, однако, что, используя символьное задание параметров функций, легко получить вывод именно тех формул, которые использует система Maple, и сравнить их со своими формулами. В случае совпадения применение функций Maple возможно и предпочтительно.
ПРИМЕЧАНИЕ
В целом применение Maple 7 как системы с символьной и точной арифметикой весьма предпочтительно в финансово-экономических и статистических расчетах, поскольку обеспечивает принципиально повышенную точность и устойчивость таких расчетов.
|
|
|
Пакет ортогональных многочленов orthopoly
Ортогональные многочлены (полиномы) находят самое широкое применение в различных математических расчетах. В частности, они широко используются в алгоритмах интерполяции, экстраполяции и аппроксимации различных функциональных зависимостей. В пакете orthopoly задано в функци:
> with(orthopoly);
[G,H,L,P,T,U]
Однобуквенные имена этих функций отождествляются с первой буквой в наименовании ортогональных полиномов. Вопреки принятым в Maple 7 правилам, большие буквы в названиях этих полиномов не указывают на инертность данных функций — все они являются немедленно вычисляемыми. В данном разделе функции этого пакета будут полностью описаны. Отметим определения указанных функций:
G(n,a,x) — полином Гегенбауэра (из семейства ультрасферических полиномов); Н(n,х) — полином Эрмита; L(n,x) — полином Лагерра; L(n,а,х) — обобщенный полином Лагерра; Р(n,х) — полином Лежандра; P(n,a,b,x) — полином Якоби; Т(n,х) — обобщенный полином Чебышева первого рода; U(n,x) — обобщенный полином Чебышева второго рода.Свойства ортогональных многочленов хорошо известны. Все они характеризуются целочисленным порядком n, аргументом х и иногда дополнительными параметрами а и b. Существуют простые рекуррентные формулы, позволяющие найти полином n-го порядка по значению полинома (n - 1)-го порядка. Эти формулы и используются для вычисления полиномов высшего порядка. Ниже представлены примеры вычисления ортогональных полиномов:
Представляет интерес построение графиков ортогональных многочленов. На рис. 14.1 построены графики ряда многочленов Гегенбауэра и Эрмита.
Рис. 14.1. Графики ортогональных многочленов Гегенбауэра и Эрмита
На рис. 14.2 построены графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра.
Наконец, на рис. 14.3 даны графики ортогональных многочленов Чебышева Т(n, х) и U(n, х).
Приведенные графики дают начальное представление о поведении ортогональных многочленов.
Рис. 14.2. Графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра
Рис. 14.3. Графики ортогональных многочленов Чебышева
К примеру, многочлены Чебышева имеют минимальное отклонение от оси абсцисс в заданном интервале изменениях. Это их свойство объясняет полезное применение таких многочленов при решении задач аппроксимации функций. Можно порекомендовать читателю по их образу и подобию построить графики ортогональных многочленов при других значениях параметра и и диапазонах изменения аргумента х.
В отличие от ряда элементарных функций ортогональные многочлены определены только для действительного аргументах. При комплексном аргументе просто повторяется исходное выражение с многочленом:
> eva1f(U(2,2+3*I))):
Р(2,2 + 3I)
> evalf(sqrt(2+3*I)));
1.674149228+ .8959774761I
Ортогональные многочлены неопределены также и для дробного показателя n. Впрочем, надо отметить, что такие многочлены на практике используются крайне редко.
|
|
|
Получение информации о конкретном пакете
С помощью команды:
>?name_package;
можно получить информацию о любом пакете расширения и найти список входящих в него функций. Названия пакетов были приведены выше.
Для обращения к функциям того или иного пакета используется его полная загрузка командой:
>with(package):[:]
Знак : блокирует вывод списка функций пакета а знак ; указывает вывести этот список.
Если вам необходима какая-то одна функция пакета или небольшая их часть, то не стоит загружать пакет целиком. Это может привести к избыточным затратам памяти компьютера и даже нарушить нормальную работу некоторых функций — следует помнить, что нередко пакеты переопределяют некоторые функции ядра. Для загрузки избранных функций используется команда with в форме
>with(package. fl. f2. ...):
или
>with(package, [fl. f2. ...]):
При этом загружаются функции fl, f2, ... из пакета с именем packages.
Может показаться, что было бы лучше иметь все функции в ядре. Однако создание ядра, реализующего все функции системы (в версии Maple 7 их около 3000), неразумно. Такое ядро занимало бы много места в памяти, имело большое время загрузки и затрудняло бы поиск конкретных нужных функций.
Поэтому ядро Maple 7 содержит определенный (и довольно обширный) минимум хорошо апробированных функций, а большинство других функций размещается в стандартной библиотеке и пакетах. Они готовятся на Maple-языке программирования и могут легко модернизироваться. К тому же пакеты могут модифицироваться (что не очень желательно) или дополняться (что приветствуется) пользователями. Некоторой платой за это является необходимость вызова того или иного пакета или функции перед их применением.
В этом разделе описана структура пакетов Maple 7, имеющих математическую направленность. Ограниченный объем книги и огромное число функций в пакетах не позволяют остановиться даже на описании синтаксических правил применения всех функций этих пакетов. Очевидно, что в этом нет и особого смысла — подавляющее большинство функций представляет малый интерес для конкретного пользователя.
Те же, кто ими интересуются, могут легко восполнить пробелы в их описании с помощью справочной системы. Однако в описании состава каждого пакета в данном уроке упомянуты имена всех без исключения его функций. Это позволяет оценить полноту того или иного пакета и без труда вызвать справочные страницы для любой функции. Описание функций пакетов в уроке дано выборочно, при этом предпочтение отдавалось тем функциям, которые используются в массовых математических и научно-технических расчетах и представляют интерес для достаточно широкого круга читателей. Полезно отметить, что большинство функций имеет вполне понятные имена, отражающие их суть и назначение. К примеру, назначение функций animate или даже textplot в пакете plots или Diff, Int и Limit в пакете student понятны, пожалуй, всем. Но и в гораздо более специализированных пакетах имена входящих в них функций в значительной мере знакомы специалистам, поскольку почти всегда ассоциируются с общепринятыми названиями тех или иных специализированных функций или с их комбинациями.
|
|
|
Примеры применения пакета powseries
Назначение большинства этих функций очевидно из их названий — они возвращают соответствующую функцию (указанную после слова pow в имени) в виде разложения в ряд или полинома. Например, powexp раскладывает выражения с экспоненциальными функциями в ряд.
Получаемые функциями ряды представляются в специальном формате. Поэтому для их применения в обычном виде необходимо использовать функцию tpsform в следующих видах:
tpsform(p, var, order) — преобразует ряд р в обычную форму с заданием порядка order; tpsform(p, var) — преобразует ряд р в обычную форму с порядком, заданным переменной Order.Здесь р — имя степенного ряда, var.— переменная, относительно которой записан ряд, order — порядок ряда. Если параметр order не указан, используется значение глобальной переменной Order. Ниже даны примеры, иллюстрирующие технику работы со степенными разложениями:
Применение функций этого пакета достаточно просто и прозрачно, так что заинтересованный читатель может сам опробовать на примерах работу тех функций, которые не были использованы в приведенных примерах.
Прямое и обратное преобразования Фурье
Прямое преобразование Фурье преобразует функцию времени f(t) в функцию частот и заключается в вычислении следующей интегральной функции:
Оно реализуется следующей функцией пакета интегральных преобразований inttrans:
fourier(expr,t,w)
Здесь ехрr — выражение (уравнение или множество), t — переменная, от которой зависит ехрr, и w — переменная, относительно которой записывается результирующая функция. Обратное преобразование Фурье задается вычислением интеграла:
Оно фактически переводит представление сигнала из частотной области во временную. Примеры применения преобразования Фурье представлены ниже:
Обратите внимание на то, что даже в простом первом примере применение обратного преобразования Фурье вслед за прямым не привело к буквальному восстановлению исходной функции sin(t). Потребовалась: команда simplify, чтобы перевести результат в виде представления синуса через экспоненциальные функции к обычному виду sin(t).
Прямое и обратное преобразования Гильберта
Прямое преобразование Гильберта задается следующим выражением:
и превращает функцию f(t) в F(s).
Обратное преобразование Гильберта означает нахождение f(f) по заданной F(s).
Эти преобразования выполняются функциями:
hilbert(expr, t, s)
invhilbert(expr, t,s)
где назначение параметров очевидно.
Приведенные ниже примеры иллюстрируют выполнение этих преобразований:
Как видно из этих примеров, обратное преобразование Гильберта, осуществленное над результатом прямого преобразования, не восстанавливает функцию f(t) буквально.
Прямое и обратное преобразования Лапласа
Прямое преобразование Лапсаса заключается в переводе некоторой функции времени f(t) в операторную форму F(p). Это преобразование означает вычисление интеграла
Для осуществления прямого преобразования Лапласа Maple 7 имеет функцию
laplace(expr,t,p)
Здесь ехрr— преобразуемое выражение, t — переменная, относительно которой записано ехрr, и р — переменная, относительно которой записывается результат преобразования.
Обратное преобразование Лапласа означает переход от функции F(p) к функции (t) с помощью формулы
Для вычисления этого интеграла служит функция:
invlaplace(expr,p, t)
где ехрr — выражение относительно переменной р, t — переменная, относительно которой записывается результирующая зависимость. Оба преобразования широко применяются в практике научно-технических вычислений и отражают суть операторного метода. При этом прямое преобразование создает изображение а обратное —оригинал функции. Ниже приведены примеры применения прямого и обратного преобразований Лапласа:
Нетрудно заметить, что в данном случае последовательное применение прямого, а затем обратного преобразования восстанавливает исходную функцию sin(t) + acos(t).
Работа с пакетом sumtools
Приведем примеры на применение этих функций:
Из этих примеров применение функций данного пакета достаточно очевидно.
Разложение функции в ряд Лорана
Для разложения функции f в ряд Лорана с порядком n в окрестности точки х = а (или х = 0) служит функция laurent:
1aurent(f, x=a.. n)
1aurent(f, х, n)
Представленный ниже пример иллюстрирует реализацию разложения в ряд Лорана:
Состав пакета numapprox
Этот пакет содержит небольшое число безусловно очень важных функций:
> with(numapprox);
[chebdeg, chebmult, chebpade, chebsort, chebyshev, confracform, hermite_pade, hornerform, infnorm, laurent, minimax, pade, remez]
В их числе функции интерполяции и аппроксимации полиномами Чебышева, рядом Тейлора, отношением полиномов (Паде-аппроксимация) и др. Все они широко применяются не только в фундаментальной математике, но и при решении многих прикладных задач. Рассмотрим их, начиная с функций аппроксимации аналитических зависимостей.
Состав пакета powseries
Степенные разложения часто используются в математических расчетах для приближенного представления разнообразных функций и обеспечения единообразия такого представления. В пакете powseries сосредоточены расширенные средства по реализации таких разложений. Они представлены 22 функциями:
> with(powseries);
[compose, evalpow, inverse, multconst, multiply, negative, pawadd, powcos, powcreate, powdijff, powexp, powint, powlog, powpoly, powsin, powsolve, powsqrt, quotient, reversion, subtract, template, tpsform ]
Ниже представлено определение этих функций:
compose(а,b) — объединяет ряды а и b; evalpow(expr) — вычисляет выражение ехрr и возвращает его в виде ряда; inverse(р) — инвертирует ряд р; mu1tconst(p,const) — умножает ряд р на константу const; , multiply(a,b) — умножает ряд а на ряд b; negative(p) — возвращает аддитивный, обратный по отношению к р ряд; powadd(a,b,...) — складывает ряды а, b, ...; powcreate(expr) — создает ряд для выражения ехрr; powpoly(pol ,var) — создает ряд для полинома pol по переменной van; powsolve(sys) — создает ряд для решения дифференциальных уравнений sys; quotient(a,b) — возвращает частное для а и b в виде ряда; reversion(a) — дает обратное к композиции разложение ряда а; subtract(а,b) — дает разность рядов а и b.В выражении ехрr могут использоваться операторы +, -, *, / и ^. С ними могут комбинироваться встроенные функции и функции пользователя, например /(g). Кроме того, могут использоваться следующие функции:
| Powexp |
powi nv |
powlog |
powneg |
powrev |
| Powdiff |
powi nt |
powquo |
powsub |
powcos |
| Powtan |
powsec |
powcsc |
powcot |
powsinh |
| Powcosh |
powtanh |
powsech |
powcsch |
powcot h. |
| Powsqrt |
powadd |
multiply |
|
|
|
Состав пакета sumtools
Этот инструментальный пакет предназначен для работы со специальными суммами. Он содержит указанные ниже функции:
> with(suintools);
[Hypersum, Sumtohyper, extended_gosper, gosper, hyperrecursion, hypersum, hyperterm, simpcomb, sumrecursion, sumtohyper]
Назначение функций данного пакета перечислено ниже:
hypersum(U, L, z, n) и Hypersum(U, L, z, n) — вычисление гиперсумм; sumtohyper(f, k) и Sumtohyper(f, k) — преобразование сумм в гиперсуммы; extended_gosper(f, k), extended_gosper(f, k=m..n) и extended_gosper(f, k, j) — реализация расширенного алгоритма Госпера; gosper(f, k) и gosper(f, k=m..n) — реализация алгоритма Госпера; hyperrecursion(U, L, z, s(n)) — реализация гиперрекурсионного алгоритма; hyperterm(U, L, z, k) и Hyperterm(U, L,z, k) — ввод гипергеометрического терма.Вычисление косинусного и синусного интегралов Фурье
Разложение функции f(t) в ряд Фурье требует вычисления интегралов следующего вида:
Они получили название косинусного и синусного интегралов Фурье и фактически задают вычисление коэффициентов ряда Фурье, в который может быть разложена функция ./(t). Для вычисления этих интегралов в пакете используются следующие функции:
fouriercos(expr,t,s)
fouriersln(expr,t,s)
Поскольку формат задания этих функций вполне очевиден, ограничимся примерами их применения:
Функции для работы с векторами и матрицами
Для работы с векторами и матрицами Maple 7 имеет множество функций, входящих в пакет linalg. Ограничимся приведением краткого описания наиболее распространенных функций этой категории.
Операции со структурой отдельного вектора V и матрицы М:
coldim(M) — возвращает число столбцов матрицы М; rowdim(M) — возвращает число строк матрицы М; vectdim(V) — возвращает размерность вектора V; col(M,i) — возвращает i-й столбец матрицы М; row(M,i) — возвращает i-ю строку матрицы М; tninor(M,i, j) — возвращает минор матрицы М для элемента с индексами i и j; delcols(M,i.. j) — удаляет столбцы матрицы М от i-roдо j-ro; del rows (V,i..j) — удаляет строки матрицы М от i-й до j-й; extend (М, т, n,х) — расширяет матрицу М на m строк и n столбцов с применением заполнителя х.Основные векторные и матричные операции:
dotprod(U,V) — возвращает скалярное произведение векторов U и V; crossprod(U,V) — возвращает векторное произведение векторов U и V; norm(V) или norm(M) — возвращает норму вектора или матрицы; copyinto(A,B,i, j) — копирует матрицу А в В для элементов последовательно от i до j; concat(Ml,M2) — возвращает объединенную матрицу с горизонтальным слиянием матриц Ml и М2; stack(Ml,M2) — возвращает объединенную матрицу с вертикальным слиянием Ml и М2; matadd(A,B) и evalm(A+B) — возвращает сумму матриц А и В; multlply(A,B) и evalm(A&*B) — возвращает произведение матриц А и В; adjoint (М) или adj(M) — возвращает присоединенную матрицу, такую что M?adj(M) дает диагональную матрицу, определитель которой есть det(M); charpoly(M,lambda) — возвращает характеристический полином матрицы М относительно заданной переменной lambda; det(M) — возвращает детерминант (определитель) матрицы М; Eigenvals(M,vector) — инертная форма функции, возвращающей собственные значения матрицы М и (при указании необязательного параметра vector) соответствующие им собственные векторы; jordan(M) — возвращает матрицу М в форме Жордана; hermite(M) — возвращает матрицу М в эрмитовой форме; trace(M) — возвращает след матрицы М; rank(M) — возвращает ранг матрицы М; transpose(M) — возвращает транспонированную матрицу М; inverse(M) или evalm(l/M) — возвращает матрицу, обратную к М; singularvals(A) — возвращает сингулярные значения массива или матрицы А.Приведем примеры применения некоторых из этих функций:
понимающий суть матричных вычислений, легко
Читатель, понимающий суть матричных вычислений, легко справится с тестированием других функций, входящих в пакет linalg. В приведенных примерах полезно обратить внимание на то, что многие матричные функции способны выдавать результаты вычислений в аналитическом виде, что облегчает разбор выполняемых ими операций.
 |
 |
 |
Функции решения линейных функциональных систем
Группа основных функций пакета LinearFunctionalSystems имеет идентичный синтаксис и записывается в виде:
name(sys,vars,[method])
или
name(A[.b],x, case, [method]}
Здесь name — одно из следующих имен:
PolynomialSolution — решение в форме полинома; RationalSolution — решение в форме рационального выражения; SeriesSolution — решение в виде ряда; UniversalDenominator — решение с универсальным знаменателем (и числителем, равным 1).Система функциональных уравнений задается либо в виде полной системы sys со списком переменных vars, либо в матричном виде с заданием матриц коэффициентов, системы А и вектора свободных членов b (может отсутствовать) с указанием независимой переменной х и параметра case, имеющего значения 'differential', 'difference' или 'qdifference'. Параметр method, задающий метод EG-исключения, может иметь значения 'quasimodular' или 'ordinary'.
Интерактивный ввод матриц
Для интерактивного ввода матриц можно, определив размерность некоторого массива, использовать функцию entermatrix:
> А:=аггау(1..3,1..3):
А :=аггау(1 ..3,1 .. 3, [ ])
После исполнения этого фрагмента документа диалог с пользователем имеет следующий вид:
Краткие сведения о MATLAB
Несмотря на обширные средства линейной алгебры (да и многие другие), имеющиеся у системы Maple 7, есть системы компьютерной математики, решающие некоторые классы задач более эффективно, и прежде всего быстрее. В области линейной алгебры к таким системам, безусловно, относится система MATLAB, созданная компанией Math Works, Inc. Ее название происходит именно от слов MATrix LABoratory — матричная лаборатория.
MATLAB содержит в своем ядре многие сотни матричных функций и является одной из лучших матричных систем для персональных компьютеров. Она реализует самые современные алгоритмы матричных операций, включая, кстати, и алгоритмы NAG. Однако главное достоинство MATLAB — наличие множества дополнительных пакетов как по классическим разделам математики, так и по самым новейшим, таким как нечеткая логика, нейронные сети, идентификация систем, обработка сигналов и др. Знаменитым стал пакет моделирования систем и устройств Simulink, включаемый в пакет поставки системы MATLAB. Последней версией системы является MATLAB 6.0. В то же время нельзя не отметить, что MATLAB — одна из самых громоздких математических систем. Инсталляция ее полной версии занимает около 1,5 Гбайт дискового пространства. Несмотря на это, интеграция различных математических систем с данной системой, похоже, становится своеобразной модой. Такая возможность предусмотрена и в системе Maple 7 с помощью пакета Matlab.
LinearFunctionalSystems
Ниже представлен ряд примеров применения пакета LinearFunctionalSystems, иллюстрирующих его возможности:
Множество дополнительных примеров на анализ и решение линейных функциональных систем можно найти в справке по функциям данного пакета.
Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra
В последние годы разработчики систем символьной математики осознали, что малая скорость выполнения векторных и матричных операций при решении задач линейной алгебры оборачивается потерей заметной части рынка систем компьютерной математики. Новые версии таких систем (Mathematica 4/4.1 и Maple 6/7) отличаются от прежних прежде всего резким повышением эффективности решения задач линейной алгебры в численном виде.
В новых реализациях систем Maple и MATLAB была сделана ставка на использование давно апробированных быстрых алгоритмов линейной алгебры, предложенных создателями Number Algorithm Group (NAG). Эти алгоритмы издавна применяются на больших ЭВМ и суперкомпьютерах, обеспечивая ускорение численных матричных операций от нескольких раз до нескольких десятков раз. Их применение обеспечивает эффективное использование систем символьной математики в решении задач, сводящихся к задачам линейной алгебры. В числе таких задач многочисленные задачи теоретической электротехники, механики многих объектов, моделирования электронных устройств и т. д. В Maple 7 использование алгоритмов NAG является одной из первых отличительных черт новой версии системы. Оно реализуется новым пакетом LinearAlgebra. Для его загрузки используются следующие команды:
> restart; with(LinearAlgebra):
[Add, Adjoint, BackwardSubstitute, BandMatrix, Basis, BezoutMatrix, BidiagonalForm, BilinearForm, CharacteristicMatrix, CharacteristicPolyhomial, Column, ColumnDimension, ColumnOpemtion, ColumnSpace, CompanionMatrix, CondittonNumber, ConstantMatrix, ConstantVector, CreatePermutation, CrossProduct, DeleteColumn, DeleteRow, Determinant, DiagonalMatrix, Dimension,
Dimensions, DotProduct, Eigenvalues, Eigenvectors, Equql, FonyardSubstitute, FrobeniusForm, GenerateEquations, GenerateMatrix, GetResuNDataType, * GetResultShape, GivensRotationMatrix, GramSchmidt, HarikelMatrix, HermiteForm, HermitianTranspose, HessenbergForm, HilbertMatrix, Households-Matrix, IdentityMatrix, IntersectionBasis, IsDefinite, IsOrthogonal, IsSimilar, IsUnitary,
Нетрудно заметить, что многие функции
JordanBlockMatrix, JordanForm, LA_Main, LUDecomposition, LeastSquares, LinearSolve, Map, Map2, MatrixAdd, Matrixlnverse, MatrixMatrixMultiply, MatrixNorm, MatrixScalarMultiply, MatrixVectorMultiply,Minimal/Polynomial, Minor, Multiply, NoUserValue, Norm, Normalize, NullSpace, OuterProductMatrix, Permanent, Pivot, QRDecomposition, RandomMatrix, RandomVector, Rank, Row,
RowDimension, RowOperation, RowSpace, ScalarMatrix, ScalarMultiply, ScalarVector, SchurForm, SingularValues, SmithForm, SubMatrix, SubVector, SumBasis, SylvesterMatrix, ToeplitzMatrix, Trace, Transpose, TridiagonalForm, UnitVector, VandermondeMatrix, VectorAdd, VectorAngle, VectorMatrixMultiply, VectorNorm, VectorScalarMultiply, ZeroMatrix, Zero Vector, Zip ]
> 1nfolevel[LinearA1gebra]:=l:
infolevelLinearAlgebra:=1
Нетрудно заметить, что многие функции этого пакета повторяет по назначению функции более старого пакета linalg, описанного выше. Поэтому мы не будем останавливаться на их повторном описании. Главное то, что эти функции задействуют возможности быстрых алгоритмов NAG и в отличие от функций пакета linalg ориентированы на численные расчеты в формате обработки вещественных чисел, характерном для компьютерной платформы. Знающий матричные методы читатель легко поймет назначение функций пакета LinearAlgebra по их составным названиям. Например, DeleteColumn означает удаление столбца матрицы, ToeplitzMatrix означает создание матрицы Теплица, ZeroMatrix — создание матрицы с нулевыми элементами и т. д. Все имена функций этого пакета начинаются с заглавной буквы.
|
|
|
Назначение пакета LinearFunctionalSystems
Пакет LinearFimctionalSystems содержит набор функций для решения задач, связанных с анализом линейных функциональных систем. Обычно такие системы описываются линейными дифференциальными уравнениями, имеющими то или иное решение. Пакет LinearFunctionalSystems позволяет провести тестирование подготовленной системы, оценить ряд ее параметров и получить решение одним из ряда методов.
Вызов всех функций пакета осуществляется командой:
> with(LinearFunctionalSystems):
[AreSameSolution, CanonicalSystem, ExtendSeries, Homogeneous System, IsSolution,
MatrixTriangularization, PolynomialSolution, Properties, RationalSolution,
SeriesSolution, UniversalDenominator]
Основные функции для задания векторов и матриц
В библиотечном файле Unalg имеются следующие функции для задания векторов и матриц:
vector(n,list) — сoздание вектора с n элементами, заданными в списке list; matrix(n,m,list) — создание матрицы с числом строк n и столбцов m с элементами, заданными списком list.Ниже показано применение этих функций:
Обратите внимание на последние примеры — они показывают вызов индексированных переменных вектора и матрицы.
Основные определения линейной алгебры
Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Maple 7 по части решения задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней.
Матрица (m х n) — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n. Пример квадратной матрицы размера 3x3:
Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.
Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размера 4x4:
Сингулярные значения матрицы А — квадратные корни из собственных значений матрицы АТ=А, где Ат - транспонированная матрица А (см. ее определение ниже);Транспонированная матрица — матрица, у которой .столбцы и строки меняются . местами, то есть элементы транспонированной матрицы удовлетворяют условию AT(i,j)=A(j,i). Приведем простой пример. Исходная матрица:
Транспонированная матрица:
Обратная матрица — это матрица М-1, которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.
Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули.
Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы Ai,i матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:
Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L.
Иногда вводят понятия под диагоналей (элементы d и k) и над диагоналей (элементы b и f). Матрица, все элементы которой, расположенные кроме как на диагонали, под диагонали и над диагонали, равны нулю, называется ленточной.
Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.
След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы.
Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:
Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени n (n — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом:
М° = Е, М1 = М, М2 = ММ ..., Мn =Мn-1М.
Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р2 = Р.
Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат = А.
Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию Ат = -A. Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию Ат =А-1.Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны 0.Блок-матрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-матрицы которой вне диагонали — нуль-матрицы.
Комплексно-сопряженная матрица — матрица А, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные. Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию А = А .Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х е V", х* О, удовлетворяющий уравнению Ах = gx, где g — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.
Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена, — |А - gE|. Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена. Норма — обобщенное понятие абсолютной (величины числа. Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина. Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||).
|
|
Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra
Применение алгоритмов NAG особенно эффективно в том случае, когда используется встроенная в современные микропроцессоры арифметика чисел с плавающей запятой. С помощью специального флага такую арифметику можно отключать или включать:
> UseHardwareFloats := false; # use software floats
UseHardwareFloats :=false
> UseHardwareFloats := true: # default behaviour
UseHardwareFloats :=true
Матрицы в новом пакете линейной алгебры могут задаваться в угловых скобках, как показано ниже:
После этого можно выполнять с ними типовые матричные операции. Например, можно инвертировать (обращать) матрицы:
Обратите внимание, что Maple 7 теперь выдает информационные сообщения о новых условиях реализации операции инвертирования матриц с вещественными элементами, и в частности об использовании алгоритмов NAG и арифметики, встроенной в сопроцессор. (
Следующий пример иллюстрирует создание двух случайных матриц Ml и М2 и затем их умножение:
Параметр inplace в функции умножения обеспечивает помещение результата умножения матриц на место исходной матрицы Ml — излюбленный прием создателей быстрых матричных алгоритмов NAG. Поскольку матрицы Ml и М2 за- -даны как случайные, то при повторении этого примера результаты, естественно, будут иными, чем приведенные.
Следующий пример иллюстрирует проведение хорошо известной операции/ LU-разложения над матрицей М, созданной функцией Matrix:
Конечной целью большинства матричных операций является решение систем линейных уравнений. Для этого пакет LinearAlgebra предлагает великое множество методов и средств их реализации. Мы ограничимся простым примером одновременного решения сразу трех систем уравнений. Дабы не загромождать книгу массивными выражениями, ограничимся решением систем из двух линейных уравнений, матрица коэффициентов у которых одна, а векторы свободных членов разные. Ниже показан пример решения такой системы:
На этом, учитывая ограниченный объем книги, мы завершаем обзор пакета LmearAlgebra. Читатель, познающий или знающий методы линейной алгебры, может опробовать в работе любые функции этого пакета самостоятельно или познакомиться со множеством примеров, размещенных в справочной системе Maple 7. Возможности пакетов linalg и LinearAlgebra удовлетворят самых требовательных специалистов в этой области математики.
Решение систем линейных уравнений
Ниже представлен простой пример составления и решения трех систем линейных уравнений с применением функций, входящих в пакет linalg:
А теперь рассмотрим пример решения матричного уравнения в символьном виде:
Следующий пример показывает решение более сложной системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами:
На этот раз решение получено использованием функций умножения матриц и вычисления обратной матрицы в виде X = А-1 В, то есть в матричном виде. В конце примера показано преобразование результатов с целью их получения в обычной форме комплексных чисел с частями, представленными в форме чисел с плавающей точкой.
Состав пакета linalg
Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple 7, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4-5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и труднообозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.
Поэтому разработчики Maple 7 были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т. д.
В ядро Maple 7, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры Unalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Он содержит свыше ста функций:
> with(linalg);
Warning, the names fibonacci, inverse and multiply have been redefined Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselimfifibonacci,forwardsub,frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert,htranspose, thermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszerojacobian, Jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve,matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, /им/row,multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, Sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian]
Ниже указано назначение тех функций пакета linalg, которые подробно не описаны:
addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число; addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число; angle — вычисляет угол между векторами; augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали; backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub); band — создает ленточную матрицу; basis — находит базис векторного пространства; bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов; . г BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу; blockmatrix — создает блок-матрицу; cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы; charmat — создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) — матрица, вычисляемая как v E-M); charpoly — возвращает характеристический полином матрицы; colspace — вычисляет базис пространства столбцов; colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы; companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом; cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M) norm(М-1); curl — вычисляет ротор вектора; definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы; diag — создает блок-диагональную матрицу; diverge — вычисляет дивергенцию векторной функции; eigenvals — вычисляет собственные значения матрицы; eigenvects — вычисляет собственные векторы матрицы; equal — определяет, являются ли две матрицы равными; exponential — создает экспоненциальную матрицу; ffgausselim — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице; fibonacci — матрица Фибоначчи; forwardsub — реализует метод прямой подстановки при решении системы линейных уравнений (например, для матрицы L и вектора b forwardsub(L, b) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений L-x=b); frobenius — вычисляет форму Фробениуса (Frobenius) матрицы; gausselim — Гауссово исключение в матрице; gaussjord — синоним для rref (метод исключения Гаусса—Жордана); geneqns — генерирует элементы матрицы из уравнений; genmatrix — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений; grad — градиент векторного выражения; GramSchmidt — вычисляет ортогональные векторы; hadamard — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта; hessian — вычисляет гессиан-матрицу выражения; hilbert — создает матрицу Гильберта; htranspose — находит эрмитову транспонированную матрицу; ihermite — целочисленная эрмитова нормальная форма; indexfunc — определяет функцию индексации массива; Innerprod — вычисляет векторное произведение; Intbasis — определяет базис пересечения пространств; ismith — целочисленная нормальная форма Шмитта; iszero — проверяет, является ли матрица ноль-матрицей; jacobian —' вычисляет якобиан векторной функции; JordanBlock — возвращает блок-матрицу Жордана; kernel — находит базис ядра преобразования, соответствующего данной матрице; laplacian — вычисляет лапласиан; leastsqrs — решение уравнений по методу наименьших квадратов; linsolve — решение линейных уравнений; LudeComp — осуществляет LU-разложение; minpoly — вычисляет минимальный полином матрицы; mulcol — умножает столбец матрицы на заданное выражение; mulrow — умножает строку матрицы на заданное выражение; multiply — перемножение 'матриц или матрицы и вектора; normalize — нормализация вектора; orthog — тест на ортогональность матрицы; permanent — вычисляет перманент матрицы — определитель, вычисляемый без перестановок; pivot — вращение относительно элементов матрицы; potential — вычисляет потенциал векторного поля; Qrdecomp — осуществляет QR-разложение; randmatrix — генерирует случайные матрицы; randvector — генерирует случайные векторы; ratform — вычисляет рациональную каноническую форму; references — выводит список основополагающих работ по линейной алгебре; rowspace — вычисляет базис пространства строки; rowspan — вычисляет векторы охвата для места столбца; rref — реализует преобразование Гаусса-Жордана матрицы; scalarmul — умножение матрицы или вектора на заданное выражение; singval — вычисляет сингулярное значение квадратной матрицы; singularvals — возвращает список сингулярных значений квадратной матрицы; smith — вычисляет Шмиттову нормальную форму матрицы; submatrix — извлекает указанную подматрицу из матрицы; subvector — извлекает указанный вектор из матрицы; sumbasis — определяет базис объединения системы векторов; swapcol — меняет местами два столбца в матрице; swaprow — меняет местами две строки в матрице; sylvester — создает матрицу Сильвестра из двух полиномов; toeplitz — создает матрицу Теплица; trace — возвращает след матрицы; vandermonde — создает вандермондову матрицу; vecpotent — вычисляет векторный потенциал; vectdim — определяет размерность вектора; wronskian — вронскиан векторных функций. Ниже мы рассмотрим более подробно наиболее часто используемые функции из этого пакета.С деталями синтаксиса (достаточно разнообразного) для каждой из указанных функций можно ознакомиться в справочной системе Maple. Для этого достаточно использовать команду
?name; где name — имя функции (из приведенного списка).
|
|
|
Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems
Прежде чем рассматривать основные функции пакета, рассмотрим две тестовые функции. Они представлены следующими формами записи:
IsSolution(sol,sys, vars) IsSolution(sol, A, b, x, case)
IsSolution(sol, A, x, case) AreSameSolutior(sol, soil)
В них: sol — тестируемое решение, sys — система функциональных уравнений, х — независимая переменная решения, А и b — матрица и вектор с рациональными элементами, case — имя метода решения ('differential', 'difference' или 'qdifference').
Типовые матричные операции пакета расширения Matlab
Большинство функций пакета Matlab (не путайте с системой MATLAB, имя которой надо записывать прописными буквами) реализуют самые обычные матричные операции, что и иллюстрируют приведенные ниже примеры.
Зададим матрицу М в формате Maple:
Ниже даны примеры транспонирования матрицы, ее инвертирования, вычисления детерминанта и собственных значений матрицы:
Можно проверить, является ли матрица квадратной:
Можно также проверить, является ли данная матрица матрицей системы MATLAB:
Здесь надо иметь в виду, что форматы матриц в системах Maple и MATLAB различны. Выполним LU-преобразование матрицы:
Таким образом, видно, что пакет Maple в данном случае реализует типовые матричные операции, но средствами системы MATLAB. Загрузка последней происходит автоматически при загрузке пакета Matlab. Если система MATLAB не установлена на вашем компьютере, то доступ к функциям пакета Matlab будет отсутствовать, a Maple 7 при попытке использования данных функций будет выдавать сообщения об ошибках.
Вспомогательные функции
Несколько вспомогательных функций пакета LinearFunctionalSystems представлено ниже:
MatrixTriangularization(mat, m, n, x, It) — триангуляция матрицы mat размера mxn с указанием типа It ('lead' или 'trail'); CanonicalSystemCshift, sys. vars) или CanonicalSystemCshift, A[, b]. x, case) — возвращает систему в каноническом виде (параметр shift задается как ' difference' или ' q - difference', назначение других параметров С9ответствует указанным выше для других функций); ExtendSeries(sol, deg) — расширяет ряд решения sol до расширенного ряда степени deg; HomogeneousSystemChoitio, sys, vars) илиHomogeneousSystemChomo, A[, b], x, case) — преобразует исходную систему в гомогенную с именем homo. PropertiesCsys, vars) или Properties(A[. b]. x, case) — возвращает основные свойства системы.Выделение сигнала на фоне шумов
Среди небольшого числа доступных функций системы MATLAB в пакете Matlab нельзя не выделить особо функции быстрого прямого и обратного преобразований Фурье. В системе MATLAB эти функции реализуют наиболее эффективные алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ), обеспечивающие решение крупноразмерных задач (например, обработки сигналов, представленных векторами и матрицами больших размеров) в десятки раз быстрее, чем при обычных методах выполнения преобразований Фурье.
Покажем возможность применения БПФ на ставшем классическим примере — выделении спектра полезного сигнала на фоне сильных помех. Зададим некоторый двухчастотный сигнал, имеющий 1500 точек отсчета:
> num := 1500:
Time := [seq(.03*t. t=1..num)]:
data := [seq((3.6*cos(Time[t]) + cos(6*Time[t])), t=1..num)]:
p1ots[pointp1ot](zip((x,y)->[x,y],Time,data), style=line);
График сигнала представлен на рис. 15.1.
Рис. 15.1. График исходного сигнала
Теперь с помощью генератора случайных чисел наложим на этот сигнал сильный «шум» (слово «шум» взято в кавычки, поскольку речь идет 6 математическом моделировании шума, а не о реальном шуме физической природы):
> tol := 10000:
r := rand(0..to1):
noisyjlata :=[seq(r()/(tol)*data[t], t=l..num)]:
plots[pointp1ot](zip((x,y)->[x,y],T1me,noisy_data), sty1e=1ine);
Нетрудно заметить, что теперь форма сигнала настолько замаскирована шумом (рис. 15.2), что можно лишь с трудом -догадываться, что сигнал имеет периодическую составляющую малой амплитуды. Эта высокочастотная составляющая сигнала скрыта шумом.
Подвергнем полученный сигнал (в виде временной зависимости) прямому преобразованию Фурье, реализованному функцией fft:
> ft := fft(noisy_data):
> VectorOptions(ft, datatype):
complex8
Эта операция переводит задачу из временного представления сигнала в частотное, что позволяет использовать частотные методы анализа сигнала. Выделим, к примеру, действительную и мнимую части элементов вектора ft и проверим его размер:
Загрузка пакета расширения Matlab
Для загрузки пакета Matlab используется команда: .
> with(Matlab);
[chol, closelink, defined, del, dimensions, eig, evalM,fft, getvar, inv, Iu,ode45, openlink, qr, setvar, size, square, transpose ]
Использование этой команды ведет к автоматическому запуску системы MATLAB (гарантируется работа с версиями MATLAB до 5.3.1 включительно) и установлению необходимой объектной связи между системами Maple 7 и MATLAB.
ПРИМЕЧАНИЕ
Как нетрудно заметить, данный пакет дает доступ всего к 18 функциям системы MATLAB (из многих сотен, имеющихся только в ядре последней системы). Таким образом, есть все основания полагать, что возможности MATLAB в интеграции с системой Maple 7 используются пока очень слабо и носят рудиментарный характер. Стоит ли ради этих функций иметь на компьютере огромную систему MATLAB, пользователи должны решать сами. Если ответ положительный, то, скорее всего, пользователь решает тот класс задач, для которых лучше подходит MATLAB, и надо задуматься уже над тем, нужен ли в этом случае Maple.
